确定整数平方根是否为整数的最快方法

Question

我正在寻找确定long 值是否是完美平方（即其平方根是另一个整数）的最快方法：

1. 我使用内置的Math.sqrt() 以简单的方式做到了这一点 功能，但我想知道是否有办法更快地做到这一点 将自己限制在仅整数域。
2. 维护查找表是不切实际的（因为大约有 2^31.5 平方小于 2⁶³ 的整数。

这是我现在正在做的非常简单直接的方法：

public final static boolean isPerfectSquare(long n)
{
  if (n < 0)
    return false;

  long tst = (long)(Math.sqrt(n) + 0.5);
  return tst*tst == n;
}

_{注意：我在很多Project Euler 问题中都使用了这个函数。因此，没有其他人将不得不维护此代码。而这种微优化实际上可以产生影响，因为部分挑战是在不到一分钟的时间内完成每个算法，并且在某些问题中需要调用数百万次。}

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我尝试了不同的解决方案：

• 经过详尽的测试，我发现在 Math.sqrt() 的结果中添加 0.5 是没有必要的，至少在我的机器上没有。
• fast inverse square root 更快，但它在 n >= 410881 时给出了不正确的结果。但是，正如 BobbyShaftoe 所建议的，我们可以对 n
• Newton 的方法比Math.sqrt() 慢了很多。这可能是因为Math.sqrt() 使用类似于牛顿法的东西，但在硬件中实现，因此它比在 Java 中快得多。此外，牛顿法仍然需要使用双精度数。
• 修改后的牛顿方法，它使用了一些技巧，因此只涉及整数数学，需要一些技巧来避免溢出（我希望这个函数可以处理所有正的 64 位有符号整数），它仍然比Math.sqrt()。
• 二进制斩波甚至更慢。这是有道理的，因为二进制斩波平均需要 16 次通过才能找到 64 位数字的平方根。
• 根据 John 的测试，在 C++ 中使用 or 语句比使用 switch 更快，但在 Java 和 C# 中，or 和 switch 之间似乎没有区别。
• 我还尝试制作一个查找表（作为 64 个布尔值的私有静态数组）。然后不是 switch 或or 语句，我只想说if(lookup[(int)(n&0x3F)]) { test } else return false;。令我惊讶的是，这（只是稍微）慢了一点。这是因为array bounds are checked in Java。

Answer 1

这是最简单和最简洁的方法，虽然我不知道它在 CPU 周期方面的比较。如果您只想知道根是否为整数，则此方法非常有用。如果你真的关心它是否是一个整数，你也可以算出来。这是一个简单（纯粹）的函数：

private static final MathContext precision = new MathContext(20);

private static final Function<Long, Boolean> isRootWhole = (n) -> {
    long digit = n % 10;
    if (digit == 2 || digit == 3 || digit == 7 || digit == 8) {
        return false;
    }
    return new BigDecimal(n).sqrt(precision).scale() == 0;
};

如果你不需要微优化，这个答案在简单性和可维护性方面更好。如果要计算负数，则需要相应地处理，并将绝对值发送到函数中。我已经包含了一个小的优化，因为由于二次残差 mod 10，没有完美的正方形具有 2、3、7 或 8 的十位数。

在我的 CPU 上，在 0 - 10,000,000 次上运行此算法，每次计算平均需要 1000 - 1100 纳秒。

如果您执行的计算次数较少，则较早的计算需要更长的时间。

我有一个负面评论，说我之前的编辑不适用于大量数字。 OP提到了Longs，Long的最大完美正方形是9223372030926249001，所以这种方法适用于所有Longs。

Answer 2

如果你想要速度，考虑到你的整数大小有限，我怀疑最快的方法是（a）按大小划分参数（例如，按最大位集划分类别），然后根据数组检查值该范围内的完美正方形。

Answer 3

关于 Carmac 方法，再次迭代似乎很容易，这应该会使准确度的位数增加一倍。毕竟，它是一种非常截断的迭代方法——牛顿法，第一次猜测非常好。

关于你目前的最佳状态，我看到了两个微优化：

• 使用 mod255 在检查后将检查与 0 移动
• 重新排列四的除法以跳过通常 (75%) 情况的所有检查。

即：

// Divide out powers of 4 using binary search

if((n & 0x3L) == 0) {
  n >>=2;

  if((n & 0xffffffffL) == 0)
    n >>= 32;
  if((n & 0xffffL) == 0)
      n >>= 16;
  if((n & 0xffL) == 0)
      n >>= 8;
  if((n & 0xfL) == 0)
      n >>= 4;
  if((n & 0x3L) == 0)
      n >>= 2;
}

更简单的可能会更好

while ((n & 0x03L) == 0) n >>= 2;

显然，知道每个检查点有多少数字被剔除会很有趣——我相当怀疑这些检查是否真正独立，这让事情变得很棘手。

Answer 4

不确定这是否是最快的方法，但这是我（很久以前在高中时）在数学课上无聊和玩计算器时偶然发现的。当时，我真的很惊讶这能奏效......

public static boolean isIntRoot(int number) {
    return isIntRootHelper(number, 1);
}

private static boolean isIntRootHelper(int number, int index) {
    if (number == index) {
        return true;
    }
    if (number < index) {
        return false;
    }
    else {
        return isIntRootHelper(number - 2 * index, index + 1);
    }
}

Answer 5

不知道最快，但最简单的方法是按正常方式取平方根，然后将结果乘以自己，看看它是否与您的原始值匹配。

由于我们在这里讨论整数，所以禁食可能会涉及一个集合，您可以在其中进行查找。