使用 Heron 公式计算 C 中的平方根

Question

我已经实现了这个功能：

double heron(double a)
{
    double x = (a + 1) / 2;
    while (x * x - a > 0.000001) {
        x = 0.5 * (x + a / x);
    }
    return x;
}

此功能按预期工作，但我希望对其进行改进。它应该使用无限的while循环来检查类似于x * x的东西是否是a。 a 是用户应该输入的数字。

到目前为止，我还没有使用该方法的工作功能...这是我惨败的尝试：

double heron(double a)
{
    double x = (a + 1) / 2;
    while (x * x != a) {
        x = 0.5 * (x + a / x);
    }
    return x;
}

这是我的第一篇文章，如果有什么不清楚或需要补充的地方，请告诉我。

第 2 次尝试失败：

double heron(double a)
{
    double x = (a + 1) / 2;
    while (1) {
        if (x * x == a){
            break;
        } else {
            x = 0.5 * (x + a / x);
        }
    }
    return x;
}

Heron's formula

Answer 1

它应该使用无穷无尽的while 循环来检查类似于x * x 的东西是否是a

问题：

收敛缓慢

当最初的x 完全错误时，改进后的|x - sqrt(a)| 错误可能仍然只有一半大。鉴于double 的范围很广，可能需要数百次 次迭代才能接近。

参考：Heron's formula.

对于一种新颖的第一种估计方法：Fast inverse square root。

溢出

x * x != a 中的x * x 容易溢出。 x != a/x 提供了一个没有该范围问题的类似测试。如果发生溢出，x 可能会被“infinity”或“not-a-number”“感染”而无法收敛。

振荡

一旦x 与sqrt(a)“接近”（在 2 倍以内），误差收敛是二次的 - 每次迭代“正确”的位数加倍。这种情况一直持续到x == a/x，或者由于double 数学的特殊性，x 将在两个值之间无休止地振荡，商也将如此。

进入这种振荡会导致 OP 的循环不终止

---

将其与测试工具结合在一起，证明了足够的收敛。

#include <assert.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

double rand_finite_double(void) {
  union {
    double d;
    unsigned char uc[sizeof(double)];
  } u;
  do {
    for (unsigned i = 0; i < sizeof u.uc; i++) {
      u.uc[i] = (unsigned char) rand();
    }
  } while (!isfinite(u.d));
  return u.d;
}

double sqrt_heron(double a) {
  double x = (a + 1) / 2;
  double x_previous = -1.0;
  for (int i = 0; i < 1000; i++) {
    double quotient = a / x;
    if (x == quotient || x == x_previous) {
      if (x == quotient) {
        return x;
      }
      return ((x + x_previous) / 2);
    }
    x_previous = x;
    x = 0.5 * (x + quotient);
  }
  // As this code is (should) never be reached, the `for(i)`
  // loop "safety" net code is not needed.
  assert(0);
}

double test_heron(double xx) {
  double x0 = sqrt(xx);
  double x1 = sqrt_heron(xx);
  if (x0 != x1) {
    double delta = fabs(x1 - x0);
    double err = delta / x0;
    static double emax = 0.0;
    if (err > emax) {
      emax = err;
      printf("    %-24.17e %-24.17e %-24.17e %-24.17e\n", xx, x0, x1, err);
      fflush(stdout);
    }
  }
  return 0;
}

int main(void) {
  for (int i = 0; i < 100000000; i++) {
    test_heron(fabs(rand_finite_double()));
  }
  return 0;
}

---

改进

• sqrt_heron(0.0) 有效。

• 更改代码以获得更好的初始猜测。

---

double sqrt_heron(double a) {
  if (a > 0.0 && a <= DBL_MAX) {
    // Better initial guess - halve the exponent of `a`
    // Could possible use bit inspection if `double` format known.  
    int expo;
    double significand = frexp(a, &expo);
    double x = ldexp(significand, expo / 2);

    double x_previous = -1.0;
    for (int i = 0; i < 8; i++) {  // Notice limit moved from 1000 down to < 10
      double quotient = a / x;
      if (x == quotient) {
        return x;
      }
      if (x == x_previous) {
        return (0.5 * (x + x_previous));
      }
      x_previous = x;
      x = 0.5 * (x + quotient);
    }
    assert(0);
  }
  if (a >= 0.0) return a;
  assert(0);  // invalid argument.
}