C中的平方根算法

Question

出于练习的原因，我用 C 编写了以下算法：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>


int main(){

double x=0;

printf("Enter the number: ");

scanf("%lf", &x);

int i = 0;

double v = 0;
double n=0;
int grenze = 12;
double z = 10;
/*
for(i=1; i<(x/2+1); i++){
    v=i;
    if((v*v) <= x){
        n = i;
    }
}

v=n;
*/
for(i=1; i<grenze+1; i++){
    z = z * 0.1;

    while(v*v<x){
        v = v + z;
        if(v*v<x){
            n = v;
        }
    }
    v=n;
}
printf("%.10f\n", n);



}

这很好用，但是对于大于某个值的数字（我不知道什么时候开始），例如 50.000.000.000，程序会冻结。

这里有什么我看不到的吗？

Answer 1

对于足够大的数字v和足够小的数字z，v = v + z；是无操作的——v 不会改变。这会让你的循环运行很长时间。

该算法不是一个好的选择——您应该查找Newton-Raphson 方法。我不相信您的算法适用于像1E-70 这样的极端数字（并且您已经证明它不适用于像1E+70 这样的数字）。请注意，在大多数支持 IEEE 浮点的机器上，双精度的范围高达 1E±300 或更大。

您能否解释一下为什么v = v + z 在一定限制下是无操作的？

浮点数的十进制位数是有限的——通常大约为 16 位。如果将1E+16和1E-16相加，则结果为1E+16；没有足够的有效数字来存储额外的信息。您以5E+10 为起点；你生成分数z = 1.0 然后0.1，0.01，...0.000 000 000 01 或附近（朋友之间的数量级是多少？）。当您四处添加最小值时，您最终不会更改任何内容。

有关该主题的规范文档是What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic 或来自ACM。

Answer 2

如果您在 while 循环中编写 printf 语句以显示 v，您会看到它在某个时候停止更改（这很糟糕，因为您使用它来退出循环！）。

我将printf("DEBUG: entered for loop, v=%lf\n", v); 放入while 循环并看到了这个：

DEBUG: entered for loop, v=173205.080757
DEBUG: entered for loop, v=173205.080757
DEBUG: entered for loop, v=173205.080757
DEBUG: entered for loop, v=173205.080757
DEBUG: entered for loop, v=173205.080757
DEBUG: entered for loop, v=173205.080757
DEBUG: entered for loop, v=173205.080757
DEBUG: entered for loop, v=173205.080757

您添加的 z 非常小，以至于当 v 为 173205 时，它实际上并没有改变值。您可以通过将v的类型更改为long double来扩展范围；但是，由于我们只有一定数量的位可以使用，所以仍然有一个上限，向其添加足够小的数字不会改变可表示的值。