在 O(n) 时间内给定特定顺序的两个集合的并集答案

【问题标题】：Union of two sets given a certain ordering in O(n) time在 O(n) 时间内给定特定顺序的两个集合的并集
【发布时间】：2013-11-30 15:55:20
【问题描述】：

[注意：我希望这个问题可以在O(n)时间解决。如果没有，我正在寻找证明它无法在O(n) 时间内解决。如果我得到证明，我将尝试实现一种新算法，以不同的方式达到这些排序集的并集。]

考虑集合：

(1, 4, 0, 6, 3)
(0, 5, 2, 6, 3)

结果应该是：

(1, 4, 0, 5, 2, 6, 3)

请注意，排序集的并集问题很简单。这些也是排序集，但排序由一些其他属性定义，这些索引已从这些属性中解析。但是排序（无论它是什么）对两个集合都有效，即对于任何 i, j ∈ Set X，如果 i <= j，然后在其他一些集合 Y，对于相同的 i, j, i <= j。

编辑：很抱歉，我错过了一些非常重要的内容，我在下面的其中一个 cmets 中已经介绍过 — 两个集合的交集不是空集合，即这两个集合具有共同的元素。

【问题讨论】：

那些“其他属性”是否已知？您似乎可以使用这些属性将这些索引映射到已排序的线性集。
鉴于它们是“集合”，我们是否可以假设这些项目在一个集合中是不同的（即没有项目可以出现多次）？
是的，这些属性是已知的。您能解释一下“排序线性集的索引”是什么意思吗？
@Dukeling 是的，没错。
如果两个集合不同怎么办？ A = {1} , B = {2}，联合应该是什么样的？

标签： algorithm union complexity-theory time-complexity

【解决方案1】：

将第一个集合中的每个项目插入到哈希表中。

遍历第二组中的每个项目，查找该值。

如果未找到，则将该项目插入结果集中。
如果找到，则在我们插入的最后一项之间插入第一组中的所有项，直到该值为止。

最后，将第一个集合中的所有剩余项插入到结果集合中。

运行时间

预期为O(n)。

旁注

在给定的约束条件下，联合不一定是唯一的。

例如(1) (2)，结果集可以是(1, 2) 或(2, 1)。

这个答案会选择(2, 1)。

实施说明

显然循环遍历第一个集合以查找最后插入的项目不会导致O(n) 算法。相反，我们必须在第一个集合（不是哈希表）中保留一个迭代器，然后我们可以简单地从迭代器的最后一个位置继续。

这是一些伪代码，假设两个集合都是数组（为简单起见）：

for i = 0 to input1.length
   hashTable.insert(input1[i])

i = 0 // this will be our 'iterator' into the first set

for j = 0 to input2.length
   if hashTable.contains(input2[j])
      do
         output.append(input1[i])
         i++
      while input1[i] != input2[j]
   else
      output.append(input2[j])

while i < input.length
   output.append(input1[i])

for 循环中的 do-while 循环可能看起来很可疑，但请注意，该循环运行的每次迭代，我们都会增加 i，因此它总共可以运行 input1.length 次。

示例

输入：

(1, 4, 0, 6, 8, 3)
(0, 5, 2, 6, 3)

哈希表：(1, 4, 0, 6, 8, 3)

然后，进行第二组。

查找0，找到，所以将1, 4, 0插入结果集
（还没有插入第一组中的项目，所以从头开始插入所有项目，直到我们得到0）。

查找5，未找到，因此将5 插入结果集中。

查找2，未找到，因此将2 插入结果集中。

查找6，找到，所以将6插入结果集
（从第一组插入的最后一项是0，所以只需要插入6）。

查找3，找到了，所以将8, 3插入到结果集中
（从第一组插入的最后一项是6，所以插入6之后的所有项，直到我们得到3）。

输出：(1, 4, 0, 5, 2, 6, 8, 3)

【讨论】：

你是如何在结果集中插入 1、4、0 的？
我唯一的问题是部分订单的“不确定性”。例如从示例集中删除零，联合不再是唯一的。否则解决方案是正确的。
我理解您的担忧。但是这些集合会有共同的元素。所以 intersection(S1, S2) 不是空集。
@flippex17 我在回答中对此进行了扩展（这属于第二个项目符号中的“插入第一组中的所有项目...”）。
好吧，我明白你做了什么，但我有点迷失了，因为你所使用的只是一个哈希表，它基本上提供了在O(1)时间搜索表中是否存在元素的能力.但是在第二种情况下，您处理的是不可能的索引；因此，这更像是一个O(n^2) 问题，而不是O(n)。

【解决方案2】：

我们有两组有序的索引 A 和 B，它们由某个函数 f() 排序。所以我们知道f(A[i]) < f(A[j]) iff i < j，同样适用于集合B。

从这里，我们得到了到“排序”线性集的线性映射，从而简化为“排序集的并集问题”。

【讨论】：

你能举个例子吗？我不相信这可以通过排序集的并集来解决（在 O(n) 中）。
这本质上是您在解决方案中所做的，但利用了“已知”函数 f()。假设我们有一个不同整数 P 的数组，因此 A 是偶数个位置的元素的排序集合，B 是奇数个位置元素的集合。然后在“排序集并集”期间，条件将类似于 if (P[a[i]]

【解决方案3】：

这也没有最好的空间复杂度，但你可以试试：

a = [1,2,3,4,5]
b = [4,2,79,8]

union = {}

for each in a:
    union[each]=1
for each in b:
    union[each]=1

for each in union:
    print each,' ',

输出：

>>> 1   2   3   4   5   8   79

【讨论】：