给定 O(n) 个集合，找出其中不同的集合的复杂性是多少？

Question

我有一个应用程序，其中有一个O(n) 集合列表。

每组Set(i) 是一个n-vector。假设n=4，例如，

Set(1) 可以是[0|1|1|0]

Set(2) 可以是[1|1|1|0]

Set(3) 可以是[1|1|0|0]

Set(4) 可以是[1|1|1|0]

我想处理这些集合，以便作为输出，我只得到其中唯一的集合。所以，在上面的例子中，我会得到输出：

Set(1), Set(2), Set(3)。请注意，Set(4) 被丢弃，因为它与 Set(2) 相同。

一种相当蛮力的计算方式给了我O(n^3)的最坏情况界限：

Given: Input List of size O(n)
Output List L = Set(1)

for(j = 2 to Length of Input List){ // Loop Outer, check if Set(j) should be added to L
    for(i = 1 to Length of L currently){ // Loop Inner
       check if Set(i) is same as Set(j) //This step is O(n) since Set() has O(n) elements
       if(they are same) exit inner loop
       else
            if( i is length of L currently) //so, Set(j) is unique thus far
                  Append Set(j) to L               
    }
 }

n 没有先验界限：它可以任意大。这似乎排除了使用将二进制集映射为十进制的简单散列函数。我可能是错的。

除了O(n^3)之外，还有其他方法可以在最坏情况下运行时间更好吗？

Answer 1

O(n) 个长度为 n 的序列构成一个大小为 O(n^2) 的输入。您不会得到比这更好的复杂性，因为您至少可能需要阅读所有输入。例如，所有序列可能都相同，但您必须全部阅读才能知道这一点。

长度为 n 的二进制序列可以插入到 trie 或基数树中，同时检查它是否已经存在，时间为 O(n)。所有序列加在一起的时间为 O(n^2)，因此只需使用 trie 或基数树来查找重复项是最佳的。

见：https://en.wikipedia.org/wiki/Trie 和：https://en.wikipedia.org/wiki/Radix_tree

Answer 2

您可以考虑使用平衡二叉树来实现您的集合。在这样的树中插入一个新节点的成本是O(lgm)，其中m 是树中元素的数量。重复将被隐式清除，因为如果我们检测到这样的节点已经存在，那么它就不会被添加。

在您的示例中，查找/插入操作的总数为 n*n，因为有 n 集，并且每个集都有 n 值。因此，总时间可能会缩放为O(n^2*lg(n^2))。这在一定程度上优于O(n^3)。

Answer 3

首先，这些不是集合，而是位串。

接下来，对于每个位串，您可以将其转换为数字并将该数字放入哈希集中（或者简单地存储原始位串，大多数哈希集实现都可以这样做）。之后，您的哈希集包含所有唯一项。 O(N) 时间，O(N) 空间。如果您需要保持字符串的原始顺序，则在第一个循环中检查每个字符串是否已经在哈希集中，如果没有，则将其输出并插入哈希集中。

Answer 4

如果你可以使用 O(n) 额外的空间，你可以试试这个：

首先，我们假设向量是二进制数，所以 0110 变成了 6。

• 这是在向量中的数字为 [0,1] 的情况下，否则您可以乘以 10 而不是 2。

将所有向量转换为小数需要 O(4n)。 对于每个转换后的数字，我们将用十进制数映射向量。为了实现这一点，我们将使用一个 n 大小的哈希映射。

1. HM
2. 对于每个向量 v： num
3. 遍历 HM，每个索引只取一个

运行时分步：

1. O(n)
2. O(n*(4+1)) ，当1为映射时间时，4为向量长度
3. O(n)