使用 LAPACK 的 ssteqr 计算特征向量时的特征向量排序答案

【问题标题】：Ordering of eigenvectors when calculating eigenvectors using LAPACK's ssteqr使用 LAPACK 的 ssteqr 计算特征向量时的特征向量排序
【发布时间】：2011-09-29 17:28:58
【问题描述】：

我正在使用 LAPACK 的 ssteqr 函数来计算特征值/特征向量。 ssteqr 的文档说特征值是按 “升序” 排序的。假设特征向量列表也按升序排序是否合理？

【问题讨论】：

标签： lapack eigenvector eigenvalue

【解决方案1】：

是的，可以合理地假设特征向量是有序的，使得i-th 特征向量对应于i-th 特征值。

不过，如果我是你，我会检查每个特征值的特征向量乘以矩阵的结果。通过这种方式，您可以确定您正确解释了输出，并且您可以清楚地看到计算的准确性。

【讨论】：

【解决方案2】：

这是一个老问题，但我最近对此感到困惑，所以我为当前和未来的读者添加了这个。

基本答案是，是的，对特征向量进行排序，使得第 i 个特征向量对应于第 i 个特征值。但是，请注意，由此获得的特征向量可能不是您想要的实际特征向量。之所以如此，是因为以下。

由于 ?steqr 函数仅适用于三对角矩阵，因此通常使用 LAPACK 的 ?sytrd 函数首先将原始对称矩阵（称为 M）转换为三对角形式，称为 T，使得 M = QTQ^T 其中 Q 是一个正交矩阵（并且 QT 表示它的转置）。然后在这个三对角矩阵 T 上应用 ?steqr 函数来找到它的特征值和特征向量。现在得到的（T的）特征值与M的特征值完全一样，所以如果你只想要特征值可以到此为止。但是如果对特征向量感兴趣，比如 OP，那么需要记住 T 和 M 的特征向量是不同的。求原始矩阵M的特征向量，需要将得到的T的特征向量左乘Q。这很容易通过使用 LAPACK 函数 orgtr 或 ormtr 来完成。请参阅此处以获得清晰的解释：https://software.intel.com/en-us/mkl-developer-reference-fortran-sytrd。

【讨论】：