使用预定的特征值计算 lapack 中的特征向量？

Question

我对 lapack 有一个相当不寻常的挑战，我花了几个小时寻找解决方案。

我有一个传统形式的广义特征值问题 (A - x B = 0)。通常我会使用例如 ?hegvx 或 ?hegvd 来计算特征值和特征向量。

然而我现在面临的挑战是，现在我已经从问题的构造中知道了特征值，因此我需要一个高效的 lapack 例程来仅计算特征向量？

有人对此有所了解吗？

Answer 1

给定广义特征值问题

(A - y B) x = 0

还有一个特征值 yn：

(A - y_n B) x_n = 0

我们知道A、B和yn，所以我们可以形成一个新的矩阵Cn

C_n = A - y_n B

C_n x_n = 0

您可以使用任何线性代数求解器为每个特征值单独求解。根据LAPACK docs on linear equations，对于一般矩阵，双精度，您可以使用 DGETRS

编辑退化特征值：

矩阵 Cn 的零空间是我们在这里解决的问题（正如 MvG 所评论的那样）。如果

C_n j = 0 和
C_n k = 0

（即退化的 e-vals）然后给定 j^Tk = 0（两者仍然是 AB 系统的特征向量）我们可以说

调用一行C_n r:

r.k = r.k - j^T.k = (r-j^T).k

这样就形成了一个矩阵J，每行都是j^T（这个肯定有名字，但我不知道）：

(C_n - J) k = 0

定义

D_nj = C_n - J

现在求解新矩阵 D_nj。通过构造，这将是原始矩阵的一个新的正交特征向量，具有相同的退化特征值。