使用矩阵求幂的 i^k 之和的总和答案

【问题标题】：Sum of sum of i^k using matrix exponentiation使用矩阵求幂的 i^k 之和的总和
【发布时间】：2015-07-21 14:08:13
【问题描述】：

f(n) 定义为：f(n) = 1^k+2^k+3^k+...+n^k，所以是和直到 n 的所有自然数的 k 次方。

在这个问题中你将要计算，

f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n)

1 ≤ n ≤ 123,456,789 和 0 ≤ k ≤ 321

(原问题链接：http://www.spoj.com/problems/ASUMHARD/Matrix)

一种幼稚的算法，逐个计算每个术语运行速度太慢，所以我想尝试解决递归关系。

天真的方法：

total = 0
for i = 1 to n:
    for j = 1 to i:
        total += j^k
return total

求幂可用于求解线性递归。我知道如何解决线性重复，例如：

f(n) = f(n-k1) + f(n-k2) + ... + constant

但我找不到任何关于如何解决类似问题的信息

f(n) = f(n-k1) + f(n-k2) + ... + n^m

或

f(n) = f(n-k1) + f(n-k2) + ... + n*m

或

f(n) = f(n-k1) + f(n-k2) + ... + k^n

即涉及一个“n”项。

如何解决这样的递归，或者如何形成初始矩阵，其幂将用于解决递归？如果不使用矩阵求幂，至少有人可以描述一下如何处理它的想法吗？

【问题讨论】：

这似乎更像是一道数学题，而不是一道编程题。
你能发布你想要解决的确切重复吗？
这似乎是一道数学题，而不是一道编程题。
我也不明白，你为什么要对这个问题使用矩阵指数。
这是一个关于 spoj 的编程问题。你能至少描述一下要接近的想法吗

标签： algorithm matrix recurrence

【解决方案1】：

为了解决你问题中linked的问题，我们可以使用一系列数学恒等式（S(p,k)是Stirling Numbers of the Second Kind）：

(1)

(2)

(3)

最后，利用身份，

我们得到：

(4)

Haskell 代码：

import Math.Combinat.Numbers

f n k
  | k == 0    = mod (div (n * (n + 1)) 2) 1234567891
  | otherwise = sum 
              $ map (\i -> stirling2nd k i 
                           * factorial i 
                           * binomial (n + 2) (i + 2) `mod` 1234567891) [1..k]

main = print (map (\(n,k) -> f n k) [(2,3),(10,3),(3,3),(100,0),(100,1),(123456789,321)])

输出：

*Main> main
[10,7942,46,5050,171700,193476340417]
(1.08 secs, 1374079760 bytes)

【讨论】：

我无法评论您转换后的公式是否比简单的解决方案更有效，但是如果您的程序确实花费了超过 1 秒的时间来计算示例输入的解决方案，那么它比navie c++ 方法（在我的机器上，naive c++ 版本需要 1,3 milli 秒 - 但我没有 haskell 编译器来测试你的编译器）。您是否使用启用的编译器优化进行编译？顺便说一句：你知道，这个问题是用 c++ 标记的，而不是 haskell？
第二，这可能是也可能不是对 spoj 问题的一个很好的答案，但不是对 OP 的问题（至少不是没有你编辑的原始问题）——至少我没有看到这里的任何矩阵。但考虑到这更像是一个XY-Problem，我认为这很好。
@MikeMB 感谢您的参与。您的 Naive c++ 版本是否在 1.3 毫秒内计算了 sum of f(1,321) + f(2,321)...+ f(123456789,321)？我不这么认为——那将是 7,620,789,436,823,655 次操作（我的操作是这样，这是我的示例输出中的最后一个条目）。而且我认为 OP 确实要求其他想法，至少我是这样解释他/她的评论的，“你至少可以描述要接近的想法。”
我的错，我忘记了最后一个。