总和为 k 的子矩阵数

Question

我刚刚在编程竞赛中遇到了这个问题，但无法在规定的时间内解决它。所以只是好奇地想找到正确的方法。任何建议都会有所帮助。

输入 给定一个包含 n 个元素的矩阵 a[]，其中 n

构造一个新矩阵 b 其中b[i][j]=a[i]*a[j]。

输出 总和为 k 的可能子矩阵的数量。

测试用例

a[]={1,-1}
k=0

输出=5 解释

b={ 1,-1,
   -1, 1}

所以 2 个行子集、2 个列子集和 1 个完整数组。所以总共 5 个。

我尝试使用类似 https://math.stackexchange.com/questions/639172/submatrix-with-sum-k 的方法来解决问题

Answer 1

对于子数组和b[i][j] -> b[i + m]b[j + n]，等于

X =   a[i]*(a[j] + a[j + 1] + ... + a[j + n])
    + a[i + 1]*(a[j] + a[j + 1] + ... + a[j + n])
    + ...
    + a[i + m]*(a[j] + a[j + 1] + ... + a[j + n])
  = sum(a[i] + ..a[i + m])*sum(a[j] +... a[j + n])

因此，任务简化为在数组a 中查找两个段，它们的和相乘等于k。

要找到a中的所有段总和，可以在O(n^2)中完成。

将所有的和存储在HashSet或类似的地方，我们可以在O(n^2)时间复杂度中找到答案。