在矩阵中查找连接单元的最有效方法

Question

我有一个包含数值的矩阵（最大大小为 100 x 100），需要在那里找到最有效（最小单元数）的一组 连接 单元格，总和为请求的值。该矩阵也可以具有负单元（矩阵的内壁），该算法应该能够四处走动。在查找连接的单元格时，我不需要考虑对角线单元格（仅上、下、左、右）。

例如我们有以下矩阵：

1 4 4

1 1 2

4 -1 1

如果我们正在寻找总和为的单元格集：

• 9 正确的结果是：4(0x2), 4(0x1), 1(0x0 or 1x1)
• 3 正确的结果是：2(1x2), 1(1x1 or 2x2)
• 5 正确的结果是：4(0x1), 1(0x0 or 1x1)

当矩阵变得相对较大（如 50x50）时，递归会非常缓慢地找到这些连接单元格的最有效方法是什么？或者这些数据的矩阵表示不是这项任务的最佳方式？

谢谢

Answer 1

NP-硬度

正如 sascha 在 cmets 中所建议的，这个问题是 NP-hard，因此不太可能存在有效的（多项式时间）解决方案。这是Subset Sum 问题的一个简化，其中给定了一个目标值 m 和一个包含 n 个数字的多重集，并被询问是否有可能找到这些 n 个数字的子多重集，它们的总和为 m：

1. 创建一个矩阵行，其中包含子集和问题的所有 n 个值，顺序不限。
2. 在其下方创建第二个矩阵行，在每个单元格中包含值 0。
3. 使用 m 作为目标值，在结果矩阵上解决您的问题。

现在任何解决方案都可以选取整行 0 值，然后选择顶行中的 任何子集 单元格，因为它们都连接到第二行。所以如果子集和问题有解，那么你的问题也有对应的解，反之亦然。

子集和是一个 NP-hard 问题，上面显示了一种解决任意子集和问题的方法，方法是将其转换为问题的实例，然后解决该问题，因此您的问题也必须是 NP-hard .

如果只能选择正数

我在上面假设零值可以出现在矩阵中（并且可以选择）。如果OTOH只能选择正数，则可以调整减少：

对于子集和问题，让 z 比所有 n 个输入数字的绝对值之和大一。代替单行 0 值，制作一行 z 值；而不是以m为目标，而是以m+nz。显然，如果 SS 问题有解决方案，那么我们可以通过选择 SS 解决方案选择的顶行中的特定数字以及底行中 z 值的所有 n 个副本来解决我们的问题.我现在将展示另一个方向也有效：也就是说，如果我们可以在您的问题的构造实例中获得 m+nz 的目标，那么它必须使用底行中 z 值的所有 n 个副本，留下正好顶行一共m，对应原始SS实例的一个解。

假设我们对构造的实例有一个解决方案，它击中了 m+nz 的目标。那么底行中的每个单元格都必须是该解决方案的一部分，因为即使一个这样的单元格不是，那么即使我们包含 顶行中的每个元素，因为（按设计）z > sum（顶行中的所有元素）。 （我假设 m 在这里是正数。）

Answer 2

为了尽量减少递归次数，我会尝试这种方法，它会查找从短到长加起来的单元格序列，以便您首先找到最短的解决方案：

给定一个目标，例如10，以及一个矩阵，例如

[1, 0, 1, 2, 3]
[6, 1, 4, 0, 2]
[1, 2, 4,-2, 3]
[1,-1, 2, 3, 1]
[0, 2, 3, 0, 1]

• 计算矩阵中每个正值的出现次数：

1: 6, 2: 5, 3: 4, 4: 2, 5: 0, 6: 1

• 使用可用值查找目标的所有分区：

6,4  
6,3,1
6,2,2
6,2,1,1
6,1,1,1,1
4,4,2
4,4,1,1
4,3,3
4,3,2,1
4,3,1,1,1
4,2,2,2
4,2,2,1,1
4,2,1,1,1,1
4,1,1,1,1,1,1
3,3,3,1
3,3,2,2
3,3,2,1,1
3,3,1,1,1,1
3,2,2,2,1
3,2,2,1,1,1
3,2,1,1,1,1,1
2,2,2,2,2
2,2,2,2,1,1
2,2,2,1,1,1,1
2,2,1,1,1,1,1,1

（由于target很小，partition的数量应该不会很大，如果target是20，最大partition数只有627）

• 将分区从短到长排序：

6,4  
6,3,1
6,2,2
4,4,2
4,3,3
6,2,1,1
...

• 从最短的分区开始，尝试在矩阵中定位：
  • 找到最大数字的位置，将单元格标记为包含在选择中，然后对分区的其余部分进行递归。
  • 尝试使用分区中的相邻数字来增加选择。
  • 如果找不到完整分区，请跳到下一个分区。

如果矩阵中有零可以包含在选择中，那么，每当分区长度增加时（例如，当您从 4,3,3 移动到 6,2,1,1 时，重试用零填充的较短分区（如果足够多的话）可用）。

如果矩阵中的值非常随机，即不是专门设计为难以找到解决方案，那么我认为这种方法应该会大大减少必要的递归次数。 （我没有尝试过编码，所以我不能给出一个好的估计。）