从向量创建非方形对角矩阵

Question

我有一个向量，我想让它向前重复 n 次，向后重复 n 次，但是是对角线。

例如，我有向量：
x= [0 0 1 1 0 0],

并且想要一个大小为 6x5 的矩阵，如下所示：

1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1

这意味着向量[0 0 1 1 0 0]（转置）被放置在中间，我想要一个矩阵，这样当向左移动时，元素会循环移动到顶部，每次移动到左。类似地，向右移动时，每次向右移动，元素都会向下循环移动到底部。因此，第二列将是[0 1 1 0 0 0]，其中元素以循环方式向左移动一次，然后第一列将是[1 1 0 0 0 0]，我们将所有元素相对于中间向左移动两次，一次使用关于第二列。

同样，第四列将是[0 0 0 1 1 0]，这意味着对于中间列，我们将所有元素以循环方式向右移动一次，然后最后一列将是[0 0 0 0 1 1]，我们将所有元素移动到右边两次相对于中间，一次相对于第四列。

Answer 1

convmtx 需要信号处理工具箱才能计算结果。虽然 Luis 的回答很好，但我可以建议一种不依赖工具箱的方法吗？

n = 2;
ind = mod(bsxfun(@plus, (0:numel(x)-1).', n:-1:-n), numel(x)) + 1;
y = x(ind);

或者，如果您不想要中间变量：

n = 2;
y = x(mod(bsxfun(@plus, (0:numel(x)-1).', n:-1:-n), numel(x)) + 1);

对于x = [0 0 1 1 0 0];，我们得到：

y =

     1     0     0     0     0
     1     1     0     0     0
     0     1     1     0     0
     0     0     1     1     0
     0     0     0     1     1
     0     0     0     0     1

这段代码的解释很简单。 n 表示您希望向左和向右“重复”向量 x 的次数，其中每一列根据您在矩阵中的哪个方向循环向上或向下移动元素。

第二行代码是最令人生畏的。让我们从bsxfun(...) 调用开始：

bsxfun(@plus, (0:numel(x)-1).', n:-1:-n))

这将创建一个numel(x) x (2*n + 1) 矩阵，其中每一列只是向量(0:numel(x)-1)，但添加了一个常数值。从第一列开始，我们将n 添加到(0:numel(x)-1)，然后将第二列添加n-1 到(0:numel(x)-1)，直到我们到达中间，它本身就是(0:numel(x)-1)。在你通过中间之后，我们然后用一个常数减去向量，从-1 到n+1 列，-2 到n+2 列直到结束。我们为n = 2 得到的结果是：

ans =

     2     1     0    -1    -2
     3     2     1     0    -1
     4     3     2     1     0
     5     4     3     2     1
     6     5     4     3     2
     7     6     5     4     3

在理想的世界中，我们基本上会使用这个矩阵来索引我们的向量，以获得我们想要的矩阵。中间左侧的列通过指定前移 1 的索引来逐步访问元素，结果是将元素移向矩阵的顶部。类似地，中间渐进式访问元素右侧的列通过指定延迟 1 的索引和结果是向矩阵底部移动元素。

不幸的是，我们有负值和超过向量长度的值。最重要的是，MATLAB 从 1 开始索引。因此，您将不得不使用一些环绕逻辑来确保一旦我们超过向量的长度或为索引产生负值，我们应该环绕到 1 而不是 0 或向量的长度而不是 -1。因此，我们可以简单地放置一个mod（模数/余数）运算，以x 中的元素总数为界，然后在整个矩阵中加 1，这样我们就可以将索引限制在 1 和总数之间现在将我们带到完成的第二行代码的元素：

>> ind = mod(bsxfun(@plus, (0:numel(x)-1).', n:-1:-n), numel(x)) + 1

ind =

     3     2     1     6     5
     4     3     2     1     6
     5     4     3     2     1
     6     5     4     3     2
     1     6     5     4     3
     2     1     6     5     4

最后一步是简单地使用这个矩阵来索引你的向量来实现所需的输出矩阵：

>> y = x(ind)

y =

     1     0     0     0     0
     1     1     0     0     0
     0     1     1     0     0
     0     0     1     1     0
     0     0     0     1     1
     0     0     0     0     1

Answer 2

如果向量总是由中间的非零部分组成，您可以使用convmtx（来自信号处理工具箱），如下所示：

y = convmtx(nonzeros(x), numel(x)-1);

或者，如果您没有信号处理工具箱，请使用conv2：

y = conv2(eye(numel(x)-1), nonzeros(x)):

对于x = [0 0 1 1 0 0]，以上任何一种都会产生：

y =
     1     0     0     0     0
     1     1     0     0     0
     0     1     1     0     0
     0     0     1     1     0
     0     0     0     1     1
     0     0     0     0     1