实时逆矩阵计算答案

【问题标题】：Inverse matrix calculation in real time实时逆矩阵计算
【发布时间】：2020-09-10 11:29:18
【问题描述】：

我一直在开发一个实时工作的 C 语言控制软件。该软件实现了受控系统的离散状态空间观察器等。为了实现观察者，有必要计算 4x4 维度的矩阵的逆矩阵。逆矩阵计算必须每 50 微秒进行一次，值得一提的是，在此期间还会进行其他相当耗时的计算。所以逆矩阵计算必须消耗少于 50 微秒的时间。还需要说的是，使用的DSP没有支持浮点运算的ALU。

我一直在寻找一些有效的方法来做到这一点。我的一个想法是准备计算矩阵4x4行列式的通用公式和计算4x4矩阵伴随矩阵的通用公式，然后根据下面给出的公式计算逆矩阵。

您如何看待这种方法？

【问题讨论】：

你试过你的方法了吗？如果没有，为什么不呢？如果是，它是否满足您的性能要求？
等式中缺少一些部分：真实世界的 CPU、时钟速度、它正在做的其他工作、中断延迟、它如何读取/写入数据结果、数据格式等。从找出现实世界的硬件限制开始。
@Steve 如果要求它应该在不支持浮点的机器上执行低于 50 毫秒，那么这是一个非常重要的事情，应该是问题的一部分。
您的目标是否可以使用浮点运算？定点算术可用吗？它是哪个DSP？我们需要一些规格。
对于问题的定点部分，有几个地方可以获得有关如何调整 C 程序以与定点处理器兼容的信息。这里有几个：（第一个似乎最实用。）fixed-point math in C、FloatingPointtoFixedPointConversionofC Code、Converting between integer and float data representations。

标签： c matrix embedded matrix-inverse

【解决方案1】：

据我了解，研究数值线性代数的人的共识是，建议避免不必要地计算矩阵求逆。例如，如果 A 的逆仅出现在控制器中，例如

z = inv(A)*y

那么最好（更快，更准确）求解 z 方程

A*z = y

而不是计算 inv(A)，然后将 y 乘以 inv(A)。

求解此类方程的常用方法是将 A 分解为更简单的部分。例如，如果 A 是（严格）正定的，那么 cholesky factorization 会找到下三角矩阵 L，因此

A = L*L'

鉴于我们可以通过以下方式解决 Z 的 A*z=y：

solve L*u = y for u
solve L'*z = u for z

鉴于 L 的三角形性质，每一个都很容易

另一个因式分解（同样仅适用于正定矩阵）是 LDL，在您的情况下它可能更容易，因为它不涉及平方根。上面链接的 wiki 文章中对此进行了描述。

更通用的因式分解包括LUD 和QR，它们更通用，因为它们可以应用于任何（可逆）矩阵，但比cholesky 慢一些。

这种因式分解也可用于计算逆。

在您的帖子中将 adj(A) 描述为迂腐，因为伴奏可能有点过时；我觉得 adjugate 或 adjunct 更现代。在任何情况下，adj(A) 都不是转置。而是 adj(A) 的 (i,j) 元素，直到一个符号，是通过删除第 i 行和第 j 列从 A 获得的矩阵的行列式。有效地计算这个很尴尬。

【讨论】：