在旋转矩阵之间插值答案

【问题标题】：interpolate between rotation matrices在旋转矩阵之间插值
【发布时间】：2010-11-04 17:24:17
【问题描述】：

我有两个描述任意旋转的旋转矩阵。（4x4 opengl 兼容）

现在我想在它们之间进行插值，以便它遵循从一个旋转到另一个旋转的径向路径。想象三脚架上的相机朝一个方向看，然后旋转。

如果我对每个分量进行插值，我会得到一个压缩结果，所以我认为我只需要对矩阵的某些分量进行插值。但是哪些？

【问题讨论】：

标签： matrix rotation 3d

【解决方案1】：

您必须对矩阵的旋转部分使用 SLERP，而对其他部分使用线性。最好的方法是将矩阵转换为四元数并使用（更简单的）四元数 SLERP：http://en.wikipedia.org/wiki/Slerp。

我建议阅读 Graphic Gems II 或 III，特别是关于将矩阵分解为更简单转换的部分。以下是 Spencer W. Thomas 的本章来源：

http://tog.acm.org/resources/GraphicsGems/gemsii/unmatrix.c

当然，我建议你自己学习如何做到这一点。这真的不是那么难，只是很多烦人的代数。最后，这里有一篇很棒的论文，关于如何将矩阵转换为四元数，然后返回，Id 软件：http://www.mrelusive.com/publications/papers/SIMD-From-Quaternion-to-Matrix-and-Back.pdf

编辑：这是几乎每个人都引用的公式，来自 1985 年的 SIGGRAPH 论文。

在哪里：

- qm = interpolated quaternion
- qa = quaternion a (first quaternion to be interpolated between)
- qb = quaternion b (second quaternion to be interpolated between)
- t = a scalar between 0.0 (at qa) and 1.0 (at qb)
- θ is half the angle between qa and qb

代码：

quat slerp(quat qa, quat qb, double t) {
    // quaternion to return
    quat qm = new quat();
    // Calculate angle between them.
    double cosHalfTheta = qa.w * qb.w + qa.x * qb.x + qa.y * qb.y + qa.z * qb.z;
    // if qa=qb or qa=-qb then theta = 0 and we can return qa
    if (abs(cosHalfTheta) >= 1.0){
        qm.w = qa.w;qm.x = qa.x;qm.y = qa.y;qm.z = qa.z;
        return qm;
    }
    // Calculate temporary values.
    double halfTheta = acos(cosHalfTheta);
    double sinHalfTheta = sqrt(1.0 - cosHalfTheta*cosHalfTheta);
    // if theta = 180 degrees then result is not fully defined
    // we could rotate around any axis normal to qa or qb
    if (fabs(sinHalfTheta) < 0.001){ // fabs is floating point absolute
        qm.w = (qa.w * 0.5 + qb.w * 0.5);
        qm.x = (qa.x * 0.5 + qb.x * 0.5);
        qm.y = (qa.y * 0.5 + qb.y * 0.5);
        qm.z = (qa.z * 0.5 + qb.z * 0.5);
        return qm;
    }
    double ratioA = sin((1 - t) * halfTheta) / sinHalfTheta;
    double ratioB = sin(t * halfTheta) / sinHalfTheta; 
    //calculate Quaternion.
    qm.w = (qa.w * ratioA + qb.w * ratioB);
    qm.x = (qa.x * ratioA + qb.x * ratioB);
    qm.y = (qa.y * ratioA + qb.y * ratioB);
    qm.z = (qa.z * ratioA + qb.z * ratioB);
    return qm;
}

发件人：http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/slerp/

【讨论】：

好的，谢谢，假设我改用四元数。我是否只需对 4 个组件中的每一个进行插值以获得平滑过渡？
用公式和一些更容易消化的代码编辑了我的答案。

【解决方案2】：

您需要将矩阵转换为不同的表示形式 - 四元数可以很好地解决此问题，而插值四元数是一种定义明确的操作。

【讨论】：