对于 n > 1，M(1) = 1，Karatsuba 算法 M(n) = 3M(n/2) 的递归关系如何？答案

【问题标题】：How is the recurrence relation of Karatsuba algorithm M(n) = 3M(n/2) for n > 1, M(1) = 1?对于 n > 1，M(1) = 1，Karatsuba 算法 M(n) = 3M(n/2) 的递归关系如何？
【发布时间】：2016-03-22 12:48:03
【问题描述】：

该算法对 n/2 个实例中的每一个实例进行 3 次乘法运算。因此，对于 n > 1, M(1) = 1，递归关系不应该是 M(n) = M(n/2)+3 吗？

【问题讨论】：

每个 n/2 个实例的 3 次乘法。 -> 例如，您购买的每瓶啤酒 3 美元
“3 次乘法”表示“进行 3 次乘法”表示“支付 3 次乘法的成本”。如果您查看代码，您会看到实例上有 3 个函数调用，每个实例的大小都是输入的一半。如果自然语言语义变得混乱，最好的办法是查看形式化。
谢谢大家。这有帮助！

标签： algorithm integer multiplication

【解决方案1】：

关键是准确了解分而治之的发生方式。在the case of the Karatsuba Algorithm:

Karatsuba 算法的基本步骤是一个公式，它允许使用三个较小数字的乘法来计算两个大数 x 和 y 的乘积，每个小数的位数大约是 x 或 y 的一半，加上一些加法和数字轮班。

所以，这就是说，要解决一个大问题，你递归地解决三个小半基本相同的问题（然后执行一些重组步骤）。您在标题中提出的复杂性递归公式正是这个公式。

【讨论】：

更准确地说，应该是 M(n) = 3M(n/2) + 2 + cn 其中 2 占 (z2*10^(2*m2))+((z1-z2 -z0)*10^(m2))+(z0) (en.wikipedia.org/wiki/Karatsuba_algorithm) 和cn是加减法吗？
类似的东西。 2 几乎没有意义（如果你考虑这样的事情，你需要考虑更新程序指令计数器）。它是 M(n) = 3M(n/2) + Theta(n)，其中最后一项由加法/减法运算来解释。