如何对给定的期权进行现值分析？

Question

标准大学刚刚完成了学生档案信息系统的设计，现在有两种开发选择：

1. D1：整体系统开发，一年需要 20 名程序员。
2. D2：增量开发，两个需要 10 个程序员 年。

每个程序员从每月 2000 美元的薪水开始，每个月初支付，一年后获得 10% 的加薪。利率为每月 0.85%，每月复利。对选项 D1 和 D2 进行现值分析，并根据现值确定哪个更可取。

Answer 1

选项 1：

D1 = 40,000 x 0.9915^0 + 40,000 x 0.9915^1 + ... + 40,000 x 0.9915^11
   = 40,000 x (0.9915^0 + 0.9915^1 + ... + 0.9915^11)
   = 40,000 x (1 - 0.9915^12) / (1 - 0.9915)
   ~ 458,183.80

选项 2：

D2 =   20,000 x (0.9915^0 + 0.9915^1 + ... + 0.9915^11)    // 1st year at 1st year's pay
     + 22,000 x (0.9915^0 + 0.9915^1 + ... + 0.9915^23)    // both years at 2nd year's pay
     - 22,000 x (0.9915^0 + 0.9915^1 + ... + 0.9915^11)    // 1st year at 2nd year's pay

   =   20,000 x (1 - 0.9915^12) / (1 - 0.9915)
     + 22,000 x (1 - 0.9915^24) / (1 - 0.9915)
     - 22,000 x (1 - 0.9915^12) / (1 - 0.9915)

   ~   229,091.9020
     + 479,466.3354
     - 252,001.0922

   ~ 456,557.15

我们乘以 0.9915^k = (1 - 0.0085)^k 得到 k 月初所有开发者的月薪现值。这适用于利率隐含的折扣。我们使用几何级数的部分和公式将 1 + r + r^2 + ... + r^k 简化为 (1 - r^(k+1)) / (1 - r)。对于 D2，我们计算第 2 年的工资现值，首先计算假设两年的第 2 年工资率的现值，然后减去来自第一年的部分（因为我们已经在第年的工资率）。