给定 n 个矩形坐标，求 k 个矩形相交的区域面积？答案

【问题标题】：Given n rectangles coordinates, find area of region where k rectangles intersect?给定 n 个矩形坐标，求 k 个矩形相交的区域面积？
【发布时间】：2019-07-25 00:54:59
【问题描述】：

给定一个由左下角和右上角[(x1, y1), (x2, y2)]坐标定义的矩形列表[R1，R2，R3]，以及一个值k。

有没有找到k个矩形重叠区域的最佳方法？

例如：

R1: [(1, 1), (5, 5)]
R2: [(4, 4), (7, 6)]
R3: [(3, 3), (8, 7)]

rectangles = [R1, R2, R3]
k = 2

两个矩形重叠的面积是8。

解决这个问题的蛮力方法是计算 x 轴和 y 轴坐标的最小值和最大值，然后使用它创建一个网格并为矩形内的每个单元格增加一个。最后遍历网格以计算值为 k 的单元格的数量以找到解决方案。

该方法的复杂度为O(n^3)，假设每个矩形的大小为n x n，并且有n个矩形。

是否有解决此问题的最佳运行时方法？

【问题讨论】：

您的复杂性陈述有点误导。实际上，它是O(AT + AU)，其中AT 是所有矩形区域的总和，AU 是联合区域（或边界框，取决于您如何对所有网格单元进行最终迭代）。虽然理论上仍然具有相同的复杂性，但在实践中使用自动分区 kd-tree 可能会更快。即，您不会记录每个网格单元的重叠，而是每个树单元，根据矩形的大小分布，重叠可能要少得多。
我会选择“Quadtree”。

标签： algorithm data-structures computational-geometry

【解决方案1】：

分析矩形集合的常用方法是使用扫描线算法。想象一条从集合左侧开始并向右扫描的垂直线。存储一组当前与线相交的矩形，最初为空。当线条通过任何矩形的垂直边时，需要更新此集合：在每种情况下添加或删除一个矩形。为了提高扫描效率，请使用垂直 x 坐标的排序列表。

在这种情况下，您还需要一种方法来有效地确定被 k 个或更多矩形覆盖的扫描线的间隔。这可以通过维护一个区间树来有效地完成。

根据细节，对于 n 个矩形，效率应该大致为 O(n log n)，可能还有一个最大重叠深度的附加项。我会让你弄清楚细节。

【讨论】：

你能扩展 interval tree 部分吗？这将是什么，您将如何构建它？

【解决方案2】：

将矩形插入数据结构中，并按底部坐标 x1 对其进行排序。使用例如自平衡二叉搜索树，这将具有复杂度 O(N.LogN)，并允许按 O(N) 的顺序遍历树，其中 N 是矩形的数量。在示例中：

[R1, R3, R2]

在将矩形插入树中时，还要保留所有唯一底部和顶部坐标 y1 和 y2 的排序列表。在示例中：

[1, 3, 4, 5, 6, 7]

现在我们将两个连续 y 坐标之间的每个水平切片视为一维问题（类似于this answer 中的第一种方法）。

从矩形树的开头遍历该切片中的所有矩形（请记住，矩形按 y1 排序，因此它们在开始时被分组在一起），并制作其唯一 x 坐标的排序列表, 每个值如果是左坐标则加 1，如果是右坐标则减 1。如果遇到顶部坐标等于切片顶部坐标的矩形，请将它们从矩形树中删除，这可以在 O(1) 中完成。对于示例中的第一个切片，y=1~3 和高度 2，那就是：

[1: +1, 5: -1]

如果我们遍历它，我们会找到一个宽度为 4 的区域（因此区域为 8），它是 1 个矩形的一部分。

对于示例中的第二个切片，y=3~4 和高度 1，那就是：

[1: +1, 3: +1, 5: -1, 8, -1]

如果我们遍历它，我们会找到一个宽度为 2 的区域（因此是区域 2），它是 1 个矩形的一部分，一个宽度为 2 的区域（因此是区域 2）是 2 个矩形的一部分，以及一个区域宽度为 3（因此区域为 3），是 1 个矩形的一部分。因此，任何属于 k 个矩形的区域都会被添加到总数中。等等。

创建矩形树是 O(N.LogN)，创建切片列表是 O(N.LogN)，遍历切片是 O(N)，在每个切片中创建排序的 x 坐标列表是 O( N.LogN)，总共O(N².LogN)，与矩形有多大、总面积有多大、矩形或簇之间有多少重叠无关矩形。

【讨论】：