计算与圆相交的多个矩形区域答案

【问题标题】：Compute multiple Rectangles area intersect by a circle计算与圆相交的多个矩形区域
【发布时间】：2013-07-02 16:12:38
【问题描述】：

我需要像这样计算矩阵的单个元素（骰子）的面积：

矩阵由“c”列和“r”行组成，每个元素/矩形的高度和宽度都相同。

知道元素 (x,y) 中心，我可以知道它的顶点是否是： - 所有的圈外区域 - 全部在圆圈区域内要么 - 部分在圆形区域内（射线 = 75.000 微米）

我的问题是如何计算与圆相交的骰子面积，以及更深层次的问题是如何计算圆内骰子部分的面积。

所以，举个例子，继续努力，我有一个骰子

 CenterX , CenterY               [  29870.4 ,  67144.9 ]
 DieDimensionX, DieDimensionY    [  5430.52 ,  4320.54 ]
 Coord of upper left corner (A)  [ 27155.14 , 69305.17 ]
 Coord of upper rightcorner (B)  [ 32585.66 , 69305.17 ]
 Coord of lower left corner (C)  [ 27155.14 , 64984.63 ]
 Coord of lower right corner (D) [ 32585.66 , 64984.63 ]

对于每个坐标，我计算了从轴原点开始的段长度，并且 1 个角（在 4 上）不在圆内：

 sqrt( (x^2) + (y^2) )

 A: 74435.261920332
 B: 76583.495783129    == >75.000 
 C: 70430.133924738
 D: 72696.81818259

这个骰子在圆圈内的面积是多少？或者：与整个骰子相比，标线内骰子面积的百分比是多少？我读过一些关于“辛普森规则”的文章，这对我有帮助，但我不知道 (a) 这是否是正确的方法 (b) 也不知道如何在我的示例中应用它。

感谢任何能够帮助我的人。

Ciao，斯特凡诺

【问题讨论】：

标签： geometry area rectangles

【解决方案1】：

最简单也可能是最耗时的方法 - 通过求解直线方程和圆方程找出交点，然后找出由这些点形成的三角形的面积和角圆内的矩形。这样，您将获得圆内矩形面积的分数。
考虑一个矩形。角的 4 个坐标是已知的。求解圆方程。排列为F(x,y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 - r^2 如果 F p），则该坐标在圆内。如果 F > 0（设 q），则在圆外。您可以使用从 abs(p/q) 获得的比率对这些坐标使用截面公式来计算交点的近似值。
近似圆当量。由等式。使用该矩形的 CenterX 与矩形相切。
您可以在此处可靠地使用二等分法来求解 x 坐标（在考虑平行于 x 轴的线时知道 y 坐标）。你知道哪个坐标在圆圈内，哪个在圆圈外，即 eq.x 坐标的值。圆是 +ve 和 -ve。

【讨论】：

Thx 无色光子。这是独特的方法吗？或者更好：对于圆的最左边或最右边的骰子，相交有两个圆外的角，我不能使用它。不是吗？对于这种情况，我必须将该区域视为梯形，然后使用不同的公式来计算其面积。回答我的第二个问题：“辛普森规则”不能作为替代和可用的目的吗？
@StefanoRadaelli 是的。当圆内有一个角时，可以考虑三角形的面积。如果您有两个角，请考虑梯形面积。如果你有 3 个角，找出不在圆圈内的区域，即外部三角形的区域，然后从矩形区域中减去该区域以获得内部区域。
@StefanoRadaelli 你也可以使用辛普森法则。在这种情况下，您将需要 3 个节点。您可以将其中 2 个节点视为交点，将第三个节点视为这 2 个节点的中点。但是，您必须先移动轴，然后才能使用该公式。但在专业方面，您不必担心由矩形区域形成的形状。圈内。