计算垂直于由点和真北航向描述的平面的 3d 矢量

Question

我在地球表面有一个点，我将其转换为地球中心的向量。

我有一个以度数为单位的正北航向，用于描述该点在地球表面上的行进路径。

我需要计算一个向量，该向量垂直于该点沿地球表面的路径所创建的平面。

我尝试使用here 描述的方法计算沿路径的任意点 然后取两个向量的叉积，但它似乎不够准确，而且开销似乎比必要的要多。

这与我的另一篇帖子 ray-polygon-intersection-point-on-the-surface-of-a-sphere 有关。

Answer 1

我假设您正在尝试计算一个矢量位于路径的平面中，而不是垂直于它（因为您已经有了一个 - 即从原点到你的观点）。

您首先需要计算位于该平面上的向量，该向量指向正北和正东。为此，我们将P 称为您的点，O 是原点，N = (0, 0, R) 是您球体顶部的点。那么

e = cross(N - P, P - O)

是一个指向正东的向量，并且与球体相切，因为它垂直于球体的半径P - O。

出于类似的原因

n = cross(e, P - O)

将指向正北，并与球体相切。

现在对 n 和 e 进行归一化处理，您就得到了切线空间的标准正交基。要找到方向theta 的向量（例如，从正东轴逆时针方向，以简化数学运算），只需取一点e 和一点n：

v = cos(theta) * e + sin(theta) * n

Answer 2

这是我对您的问题的理解：

• 您在地球表面有一个点，指定为纬度/经度坐标
• “真北”方向是一个人在该点通过最直接的可能路线到达（地理）北极的方向。也就是说，“真北矢量”在您选择的点与地球表面相切，并直接指向北方，平行于经线。
• 该点的运动方向将（最初）在您选择的点与地球表面相切。
• 您有一个相对于真北的角度（以度为单位），它指定了该点将要移动的方向。
• 此角度是“真北矢量”与点运动方向之间的夹角。
• 您想要计算一个向量，该向量在该点与地球表面相切，但垂直于该点的运动方向。

如果我理解正确的话，你可以这样做：

1. 纬度lat，经度lng的“真北矢量”由

   给出

   [-sin(lat) * cos(lng), -sin(lat) * sin(lng), cos(lat)]

2. 一个垂直于“真北向量”的向量，它指向一条纬线（向东），由

   给出

   [-sin(lng), cos(lng), 0]

3. 由于这两个向量标识与地球表面相切的平面，并且指定点运动方向的向量也在该平面内，因此您的运动向量是前两个的线性组合：

   [ -(sin(lat) * cos(lng) * cos(th) + sin(lng) * sin(th)) -(sin(lat) * sin(lng) * cos(th) - cos(lng) * sin(th)) cos(lat) * cos(th) ] 其中th 是您的航向角。

4. 要找到垂直于该运动矢量的矢量，您只需取半径矢量的叉积（即从地球中心指向您的点的矢量，

   [cos(lat) * cos(lng), cos(lat) * sin(lng), sin(lat)]

   与运动向量。 （那个数学会很乱，最好让电脑处理）

Answer 3

您已经有 2 个向量：

N = (0,0,1) 点从原点直接向上。

P = (a,b,c) 点从原点到您的点。

计算单位向量到你的点 U = P/|P|

计算垂直于 U 和 N 的单位向量 E = U X N

计算垂直于 U 和 E 的单位向量（这将与球体相切） T = U X E T 可以指向北或南，所以 如果 T.z

T 现在指向正北，并平行于在 P 处与球体相切的平面。

您现在有足够的信息来构造一个旋转矩阵 (R)，因此您可以围绕 U 旋转 T。您可以在 wikipedia 上找到如何制作一个围绕任意轴旋转的矩阵：

使用 R，您可以计算指向行进方向的向量。

A = RT

A 是您正在寻找的答案。