Pollard Rho 在输入不太大时崩溃

Question

我实现了wikipedia 上给出的 Pollard Rho 算法

x ← 2; y ← 2; d ← 1
while d = 1:
    x ← g(x)
    y ← g(g(y))
    d ← gcd(|x - y|, n)
if d = n: 
    return failure
else:
    return d

大输入给出错误：

GNU MP：无法分配内存（大小=4294950944）

这是我的实现

mpz_class factor(mpz_class num)
{
    mpz_class x(2), y(2), d(1);
    while(d == 1)
    {
        x = polynomial(x);
        y = polynomial(polynomial(y));
        mpz_class diff = x - y;
        if(diff < 0)
        {
            diff *= -1;
        }
        mpz_gcd(d.get_mpz_t(), diff.get_mpz_t(), num.get_mpz_t());
    }
    if(d == num)
    {
        return -1;//failure
    }
    else
    {
        return d;//found factor
    }
}

mpz_class polynomial (mpz_class x)
{
    return ((x * x) + 1);
}

它适用于像 121 这样的输入，但在 5540987 上崩溃。我做错了什么吗？有没有办法可以改善这种情况，以便将这些数字考虑在内？我见过some implementations 似乎使用多项式((x*x)%N+c)%N（注意额外的mod n）。这是否可行，因为可以使用任何多项式？

Answer 1

有 两个 模运算存在冗余，但其中一个精确地解决了数字爆炸的问题，除非算法很早就终止（它对 121 终止）。

这是否可行，因为可以使用任何多项式？

这有点微妙，将模运算加入混合并不是“任何多项式”的情况。关键是该算法要查找的是某个序列中的两个值x[i] 和x[j] 和i != j，这样abs(x[i] - x[j]) 是p 的倍数（其中N = pq 既不是p 也不是@ 987654328@ 是 1)，或者换句话说，abs(x[i] - x[j]) mod p = 0 或 x[i] ≡ x[j] mod p。那时，当以 p 为模查看时，在序列中发现了一个循环，重要的是，如果 x[i] != x[j] 则它们的差异是 p 的非零倍数，这使得有机会从 N 中提取一个因子。 . 至少如果它们的差异不是 N 的倍数（在这种情况下，GCD 的结果将是 N 本身并且没有因子出现）。

因此，纯粹从数学角度来看，模 N 步骤在理论上是不必要的，循环模 p 在没有这种“帮助”的情况下发生。但这是可能，N = pq，所以如果我们减少序列模N，那么它的属性模p 不会受到干扰，算法仍然有效。不仅如此，减少模 N 实际上非常重要，因为它可以防止所涉及的数字变得不切实际地大，否则不仅会减慢算法速度，而且最终会在实际（有限大小）硬件上失败。

那是一大堆理论依据，实现起来真的很简单，

mpz_class polynomial (mpz_class x, mpz_class num)
{
    return ((x * x) + 1) % num;
}