如何找到距离等于 X 的两个向量的点

Question

所以我有以下问题让我感到困惑，我不知道该怎么做：

我有两个相交的向量。向量可以来自各种不同的角度，如下两张图：

交点也是已知的，它使用叉积计算，我从this 得到了它背后的数学。向量的起点和终点也是已知的。

现在我有一条长度为 X 的线，我想知道这条线在这两个向量之间的哪个位置完全吻合。然后从向量中知道这些点的坐标。我认为这张图片能更好地描述它：

当然，一条长度为 X 的线可以通过多种不同的方式拟合两个向量，例如以下两张图片显示了向量 A 和 B 之间线 X 的不同位置，其中线的长度相同，但位置和角度不同：

如果可能的话，我希望位置的差异由向量的长度决定。因此，如果向量 B 是向量 A 的 5 倍长，那么 S 到线与向量 B 相接触处的距离应该是 S 到线与向量 A 相接触处距离的 5 倍。如上右图所示S到直线与向量B相接处的距离远大于S到直线与向量A相接处的距离。

找出这条线的位置的最佳方法是什么？那么，线在向量 A 的哪个位置开始，在向量 B 的哪个位置结束？我想在 C++ 中实现这一点，但是计算两个向量上每个点之间的距离并检查这是否等于 X 似乎非常密集，并且对于浮点数是不可能的。

编辑：找到解决方案。下面我举一个小例子。

• 假设角度 c（矢量 A 和矢量 B 之间的角度）为 90 度。
• 比率为 1:2（因此 B 是 A 的两倍）。
• 最后边 C 是 30。

您要做的是为向量 A 和 B 的长度编一个数字。我使用this 站点发现的是，您是否在 A 和 B 边填写 4 和 8，或 8 和 16 或任何其他具有 1:2 比例的东西，角度 a 在所有情况下都是相同的，角度 b 也是如此。因此，要计算角度 a 和 b，只需使用例如 5 和 10。您首先要做的（或至少我是这样做的）是使用角度 c 计算边 C，使用以下公式计算边 A 和 B： sqrt(sideA * sideA + sideB * sideB - 2 * sideA * sideB * cos(degreesToRadian(angleC)));。请注意，这不是同一边 C 和给定的那一侧，而只是用于计算角度的一侧。

之后，您可以使用以下公式计算角度 a： radianToDegrees(acos((sideB * sideB + sideC * sideC - sideA * sideA) / (2 * sideB * sideC)))

现在您已经找到了角 a，您将拥有三角形中的所有角。因为您已经知道角度 c，所以您只需计算 a 和 b = 180 - a - c。最后要做的是使用角度 c 计算边 A 和边 B，使用以下公式计算角度 a 和给定边 C： sideB * sin(degreesToRadian(angleA)) / sin(degreesToRadian(angleB))

当您将它们放在一个函数中，该函数将其作为参数：（float angleC，float ratioB，float sideC）。在我们的例子中是 (90, 0.5, 30)。然后计算如下：

    float fakeSideA = 10;
    float fakeSideB = fakeSideA * ratioB;
    float fakeC = sqrt(fakeSideA * fakeSideA + fakeSideB * fakeSideB - 2 * fakeSideA * fakeSideB * cos(degreesToRadian(angleC)));

    float angleA = radianToDegrees(acos((fakeSideB * fakeSideB + fakeC * fakeC - fakeSideA * fakeSideA) / (2 * fakeSideB * fakeC)));
    float sideA = sideC * sin(degreesToRadian(angleA)) / sin(degreesToRadian(angleC));

    std::cout << "SideA: " << sideA << ", AngleA: " << angleA << ", SideC: " << sideC << ", AngleC: " << angleC << std::endl;`

输出应类似于：SideA: 26.8328, AngleA: 63.435, SideC: 30, AngleC: 90。哪个是对的。知道 sideA 是 S 与长度为 X 的直线与向量 A 接触的位置之间的长度，您就可以计算出它的坐标。

Answer 1

您可以使用law of cosines。

Here is an illustration of applying this to your problem.

然后你应该做的是注意向量 A 与向量 B 的大小之比允许你从图片中的 a 转换为 b。从那里，C 是已知的，A = 180 度 - C - B。

您有六个变量，a b c A B C，两个约束（A = 180 - C - B 和 a = ratio*b），以及一个 C 形式的常数。

您现在可以为 a 或 b、A 或 B 或 c 这三个中的两个选择值。使用正弦定律将此变量等同于其各自的伙伴。这样做会给您留下一个未知数，您可以使用 wolfram 页面上的相应公式来求解（或者自己从页面上的公式之一推导出来）。

编辑：另请注意，您需要将从这些公式中找到的角度转换/映射到原始方向/坐标系。

Answer 2

让我们给定线段A，线段B，交点S
求A和B的归一化方向向量（可能在计算交点的时候已经找到了）

dA = (A1.X - A0.X, A1.Y - A0.Y) / 长度(A)
dB强> = (B1.X - B0.X, B1.Y - B0.Y) / 长度(B)

和比率kBA

kBA = 长度(B) / 长度(A)

位于 B 上的新段的末尾应该距离 S 多 kBA 倍

EA = S - t * dA
EB = S - t * kBA * dB

现在写出EA-EB段长度的方程，

 LenX^2 = (EA.X - EB.X)^2 + (EA.Y - EB.Y)^2

求解未知参数 t，并找到点 EA 和 EB（如果存在解，并且它们确实存在于 A 和 B 段的范围内）

Denom = (kBA * dB.x - dA.x)^2 + (kBA * dB.y - dA.y)^2
if Denom = 0 then segments are parallel and there is no solution
else
t = +/- sqrt(Len^2 / Denom) 

finally 
EA.X = S.X - t * dA.X
and so on...