如果只允许单位移位，则计算对数组进行排序的移动次数

Question

所以，我有一个包含整数的数组。我需要对其进行排序。但是，我唯一可以执行的操作是单位移位。也就是说，我可以将序列的最后一个元素移到它的开头。

          `a1, a2, ..., an → an, a1, a2, ..., an - 1.`

我需要对序列进行排序的最少操作数是多少？

数组中的整数个数最多为 10^5。每个整数单独值也可以是 10^5。此外，如果数组已经排序，则打印 0，否则如果数组无法按单位移位排序，则打印 -1。

我想到的解决方案：

1. 检查数组是否已排序。
2. 如果数组已排序，则打印 0 否则
3. 设置计数 = 0
4. 将数组旋转一个单位并增加计数。
5. 检查数组是否排序：如果是，打印计数和中断，否则
6. 重复步骤 4-5 直到 count

现在，上述解决方案的时间复杂度为 O(n^2)。因为，如果数组已排序，我正在检查每个单独的元素，并且此检查需要 O(n) 时间，并且我有 n 个元素，因此它是 O(n^2)。

谁能给我建议其他更好的方法？ 谢谢！

PS：我非常努力地想了一些其他的方法。我达到了计数反转，但这并没有真正帮助。

Answer 1

只需迭代数组，找到第一个索引i，使得arr[i] > arr[i+1]（如果没有这样的索引，我们就完成了，因为数组已经排序了），然后检查arr[i+1],...,arr[n]是否排序，如果@ 987654324@。如果是，可以通过 n-i 旋转来完成。

否则，没有办法。

时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。

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附录：算法的正确性：

权利要求 1：

如果数组不能拆分成两个数组 arr[1],arr[2],..,arr[i] 和 arr[i+1],...,arr[n] - 均已排序， 那就没有办法了。

证明：
让我们假设i 是arr[i] > arr[i+1] 所在的第一个索引，并让j 是其他一些索引，例如arr[j] > arr[j+1], j!=i。一定有这样的，因为arr[i+1],...,arr[n] 是未排序的。

根据定义，虽然j+1 不是“单位移位”，但数组是未排序的。
刚移位后，由于arr[i] > arr[i+1]仍然没有排序，又一次移位后，arr[j]又在arr[j+1]之前，违反了排序顺序。
因此，数组无法排序。

权利要求 2：

假设一个数组可以拆分为两个有序数组 arr[1],...,arr[i] 和 arr[i+1],...,arr[n]。
还假设 arr[i] > arr[i+1]。
然后，数组可以“单位移位”成 排序一，当且仅当arr[n] <= arr[1]。

证明：

<---
数组未排序，因此至少要进行一次单位移位。这个单位移位将arr[n]放在arr[1]之前，除非arr[n]<=arr[1]，否则数组永远不会被排序

--->
假设arr[n]<=arr[1]，那么通过移动arr[i+1],...,arr[n]，我们得到以下数组：

arr[i+1],arr[i+2],...,arr[n],arr[1],arr[2],...,arr[i]

请注意arr[i+1]<= arr[i+2] <= .... <= arr[n]，因为我们假设它已排序。
同样arr[1]<=arr[2]<=...<=arr[i]
另请注意arr[n] <= arr[i]，来自假设。

通过加入上述 3 个不等式，我们得到：

arr[i+1] <= arr[i+2] <= ... <= arr[n] M= arr[1] <= arr[2] <= ... <= arr[i]

根据定义，上面是一个排序数组，它结束了声明的证明。

权利要求 3：

算法正确

通过应用 claim1、claim2 并专门处理数组已经排序的情况，我们得到：

当且仅当以下情况下，可以使用“单位移位”对数组进行排序：它已经排序，或者声明 2 的条件适用，并且证明结束。

QED