未排序的移位数组的位移

Question

我们有一个未排序的数组，其中包含不同的条目 a_1, a_2, ... a_n，我们还知道一个移位数组 a_(nk), ...a_n, a_1, a_2, ... 我们的目标是找到给定这两个数组的位移 k。当然有一个最坏情况的线性算法 O(n)。但我们能做得比这更好吗？

提示答案与 k 分布有关。如果 k 在 0 和 n 之间均匀分布，那么我们必须在 O(n) 内完成。如果 k 以其他方式分布，可能会有更好的方式。

Answer 1

如果数组中没有重复项（不同的条目），我将使用 while 循环并从 0 开始递增索引值 k 并同时比较两个项目，一个从开始，一个从结束。如array1[k] === array2[0]或array1[n-k] === array[0]，索引值k应该是上述比较返回true时的位移。

Answer 2

有一个 O(sqrt(n)) 解决方案，正如操作人员根据 @greybeard 的提示得出的那样。

从第一个列表中，散列第一个 sqrt(n) 元素。对于第二个列表，查看每次按 sqrt(n) 个元素前进的元素。

但是，如果 k 小而 n 大，我们可能会问是否有可能接近 O(k)（或更小！）的解决方案。事实上，我声称有一个 O(sqrt(k)) 解决方案。

为此，我提出了增加步长的增量过程。所以算法看起来是这样的：

首先，从第一个列表中获取 2 个元素 - 对这些值进行哈希处理（并将值的位置作为查找值，所以这应该被认为是一个 HashMap，其中键是列表的元素，值是位置）。 将这些元素与第二个列表中的第一个和第三个元素进行比较。 也散列第二个列表中的值。 接下来，查看第一个列表中的第三个元素 - 散列值。在此过程中，查看它是否与第二个列表中的任何一个元素匹配。接下来，在第二个列表中推进 3 个元素，并比较它的值 - 记住这些值。

像这样继续： 增加第一个列表的前缀长度，并在每个点增加第二个列表的步长。每当您为第一个列表获取新元素时，您都必须将其与第二个列表中的值进行比较，但这很好，因为它不会显着影响性能。

请注意，当您的前缀长度为 p 时，您已经检查了第二个列表中的第一个 p*(p+1)/2 个元素。所以对于给定的 k 值，这个过程将要求前缀长度 p 大约为 sqrt(2k)，根据需要为 O(sqrt(k))。

Answer 3

基本上，如果我们知道a[0] 不等于b[0]，我们就不需要检查a[1] 是否等于b[1]。扩展这个想法并散列a's，检查可以如下：

a[0] == b[0] or b[0] in hash?   => known k's: 0
a[1] == b[2] or b[2] in hash?   => known k's: 0,1,2
a[2] == b[5] or b[5] in hash?   => known k's: 0,1,2,3,4,5
a[3] == b[9] or b[9] in hash?   => known k's: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
a[4] == b[14] or b[14] in hash? => known k's: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
...

（我认为这是O(sqrt n) 时间和空间最坏情况复杂度。）

Answer 4

也许如果你将它们合并到一个哈希表中。那么原始数组中 a(n-k) 的访问和比较时间将为 O(1)。