证明优先队列操作的时间复杂度

Question

我最近参加了一项考试，其中有一个问题：您的朋友提出了一组用于执行以下操作的优先级队列算法：Insert(S, x) in O(1)、Peek-Max(S) in O(1)、@ O(1) 中的 987654325@ 和 O(logn) 中的 Increase-Key(S, x, k)。你如何向你的朋友证明这套算法是不可能的？

我真的很紧张，因为我很肯定我得到了错误的答案。我说过优先级队列必须具有对于一组元素[A1, A2, ... An] 它需要具有关系[A1 >= A2 >=...>= An] 的属性，我现在意识到这不是真的。只有第一个元素需要大于其余元素（假设最大优先级队列）。因此插入函数不能在 O(1) 中，因为对于一组 n 个元素，您无法确保放置的项目在恒定时间内处于正确位置。

你们对如何解决这个问题有任何见解吗？我昨晚睡不着觉，以为我可能答错了这个问题。

Answer 1

反驳某事的一个简单方法是想一个反例。在这种情况下，您希望找到一个显然不可能的操作序列。

例如，假设您将 n 元素插入队列，然后 remove-max n 元素。由于这是一个优先队列，我们​​提取的元素应该按排序顺序排列。因此，使用您朋友的算法，我们能够以时间复杂度O(n) 对n 元素进行排序。我们知道排序最多是O(nlogn) - 在O(n) 中排序是不可能的！