切杆算法实现利润最大化

Question

我正在尝试通过动态编程解决标准的切杆问题。如发现here 和here，递归关系似乎是：

prices = [1..n]
array[1..n]

array[1] = prices[1]

for i in (2..n)
{
    array[i] = INT_MIN
    for j in (1..i-1)
    {
        array[i] = max(array[i],prices[j]+array[i-j])
    }
}

而array[n] 返回n 的值，这就是我们的答案。我的问题就在这条线上

array[i] = max(array[i],prices[j]+array[i-j])

不应该

array[i] = max(array[i],array[j]+array[i-j])

假设我们正在尝试找到长度 8 的最大值。现在，对于4，我们发现我们通过切割单个长度单位4获得的值小于通过切割3和1的长度获得的值，即对于n = 4，prices[4]是不是最优的。但由于我们是自下而上构建结果数组，array[4] 是最优的。那么与prices[4]+array[4] 相比，array[4]+array[4] 不是n = 8 的最大值吗？我得到的解决方案如下所示：

prices = [1..n]
array[1..n]

for i in (1..n)
    array[i] = prices[i] //prices[i] is the minimum value we can obtain by cutting it fully 

for i in (2..n)
{
    for j in (1..i-1)
    {
        array[i] = max(array[i],array[j]+array[i-j]) // find out all possible (j,i-j) pairs, and compare with array[i]
    }
}

如果这不正确，请告诉我我在逻辑上犯了什么错误。

Answer 1

array[i] = max(array[i],prices[j]+array[i-j]) 在我看来很合适。

在该算法中，j 表示初始切割的杆长度。我们从长度为i 的杆开始并切断j。然后，我们需要知道i - j 的杆可以得到多少，因为您只需切断j 的长度，就剩下i - j。但我们知道这个价值至少和price[i-j] 一样高，因为我们可以选择将鱼竿整体出售或通过切割来增加其价值。

示例： 我们有一个长度为 4 的棒。假设 array[] 已经包含 1,2,3 的最佳值，那么我们：

剪下长度为 1 的一段，然后检查我们可以得到多少长度为 3 的杆

剪下一段长度为2的，然后看看我们能得到多少 对于长度为 2 的杆

剪下长度为 3 的一段，然后检查我们可以得到多少长度为 1 的杆

然后选择最大值。

如果我们使用array[i] = max(array[i],array[j]+array[i-j])

array[k] 包含长度为 k 的杆的最大值，如果我们将其切成碎片。因此，与我们使用 price[k] 相比，这些值会出乎意料地高。

此外，递归中的当前步骤只关心进行一次切割，并检查剩余的最大值，而不是两侧的最大值（当您发现大切割的值可能不理想时，将予以处理)