通过交易实现利润最大化答案

【问题标题】：maximize profit through trading通过交易实现利润最大化
【发布时间】：2016-03-13 17:00:02
【问题描述】：

我在这个问题上纠结了一段时间，试图找出以下问题的递归关系。

问题描述：

假设在一个市场中可能存在以下交易选项：

1 金属 2 木材
1 木材到 0.2 玻璃
1 玻璃比 1.5 金属
1 木材到 0.4 火
1 火烧 3 金属

确定是否可以仅通过交易从某个项目上获利。

例如在上述场景中，我们可以通过以下操作从金属中获利：

1 金属 -> 2 木材 -> 0.8 火 -> 2.4 金属

我被困在的部分是应该如何分解子问题。这个问题似乎对括号乘法问题很熟悉，我们试图通过一系列乘法来最大化最终结果，但有更多限制。

我不想要完整的答案，但可以将我推向正确方向的提示将不胜感激！

谢谢！

【问题讨论】：

提示：这看起来像是一个可以很好地表示为图表的问题。此图中的解决方案是什么样的？你能证明，如果有一个解，那么一定有一个最小这样的解，它有一些特别简单的结构吗？
我会将其视为图形问题。每个项目都是一个节点，每个可能的交易都是一个优势。那么，是什么决定了一个有利可图的交易场景呢？
@j_random_hacker 谢谢我试一试，作为一个图形问题看起来简单多了！
@VincentvanderWeele 谢谢，我试一试，作为图形问题，它似乎简单得多！
提示：Bellman Ford 找到负循环，如果有的话。

标签： algorithm dynamic-programming maximum-profit-problem

【解决方案1】：

提示：您可以通过“玩”权重并将其简化为已知的加权最短路径问题来解决此问题。

剧透：详细解释

这可以通过在图上找到负怀特循环很好地解决，带有权重：

设w'(u,v) 是将一个单位的u 转换为v 的成本。定义：

w(u,v) = -log(w'(u,v))

想法是路径v1->v2->...->vk的代价是

COST = w(v1,v2) + w(v2,v3) + ... + w(vk-1,vk) = 
     = -log(w'(v1,v2)) + -log(w'(v2,v3)) + ... + -log(w'(vk-1,vk)) = 
     = -log (w'(v1,v2)*w'(v2,v3)*...*w'(vk-1,vk))

现在，很容易看出，w'(v1,v2)*w'(v2,v3)*...*w'(vk-1,vk) 的值恰好是一个单位的v1 产生的vk 的数量。

类似地，对于从某个u 到其自身的任何循环：u->v1->v2->v3->...vk->v，w'(u,v1)*w'(v1,v2),...,w'(vk,u) 的值是您可以通过这种方式生产多少个单位，并且该值大于 1 当且仅当-log(w'(u,v1)*w'(v1,v2),...,w'(vk,u) < 0

所以，这个问题可以很容易地简化为一个已知的算法——Bellman-Ford，它可以很容易地检测出负循环的存在。

【讨论】：