正常顺序的评估过程（方案）？

Question

我正在学习SICP，ex1.20给出如下代码：

    (define (gcd a b)
      (if (= b 0)
        a
        (gcd b (remainder a b))))

问题询问我们分别以应用顺序和正常顺序运行(gcd 206 40) 时调用余数的次数。我可以弄清楚剩余部分按应用顺序被调用了 4 次，但我不明白为什么在正常顺序中它变成 18 次。在我看来，首先调用(gcd 40 (remainder 206 40))，接下来我们需要计算(remainder 206 40)，也就是6，如果我们想知道我们去哪个分支，然后(remainder 40 6)，以此类推，结果是也是4倍。但答案给出了以下过程：

     (gcd 206 40) 

     (if (= 40 0) ...) 

     (gcd 40 (remainder 206 40)) 

     (if (= (remainder 206 40) 0) ...) 

     (if (= 6 0) ...) 

     (gcd (remainder 206 40) (remainder 40 (remainder 206 40))) 

     (if (= (remainder 40 (remainder 206 40)) 0) ...) 

     (if (= 4 0) ...) 

     (gcd (remainder 40 (remainder 206 40)) (remainder (remainder 206 40) (remainder 40 (remainder 206 40)))) 

     (if (= (remainder (remainder 206 40) (remainder 40 (remainder 206 40))) 0) ...) 

     (if (= 2 0) ...) 

     (gcd (remainder (remainder 206 40) (remainder 40 (remainder 206 40))) (remainder (remainder 40 (remainder 206 40)) (remainder (remainder 206 40) (remainder 40 (remainder 206 40))))) 

     (if (= (remainder (remainder 40 (remainder 206 40)) (remainder (remainder 206 40) (remainder 40 (remainder 206 40)))) 0) ...) 

     (if (= 0 0) ...) 
     (remainder (remainder 206 40) (remainder 40 (remainder 206 40))) 

所以总共是 18 次。 我认为这两个答案之间的主要区别在于，我认为一旦计算了余数，就不需要再计算它了，但答案似乎每次都计算它。这是编译器的问题吗？是不是太没效率了？

Answer 1

edit：实际上，我所说的正常顺序是按名称调用。懒惰是按需调用，两者确实是正常的顺序。

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你的直觉对于应用顺序是正确的，其中参数被评估（即它们的值被找出）在函数调用之前。但在正常顺序中，它们仅在函数调用内部被评估时，当需要它们的值时——然后，这个值被遗忘。顺便说一下，记住找到的值的正常顺序称为 lazy 评估。

因此，求值的应用顺序的归约顺序是

> (gcd 206 40)
= (if (= 40 0) 206 (gcd 40 (remainder 206 40)))
= (gcd 40 (remainder 206 40))
> (remainder 206 40) => 6
= (gcd 40 6)
= (if (= 6 0) 40 (gcd 6 (remainder 40 6)))
= (gcd 6 (remainder 40 6))
> (remainder 40 6) => 4
= (gcd 6 4)
....

但是对于正常的顺序，它会是

> (gcd 206 40)
= (if (= 40 0) 206 (gcd 40 (remainder 206 40)))
= (gcd 40 (remainder 206 40))
= (if (= (remainder 206 40) 0) 40 
                   (gcd (remainder 206 40) (remainder 40 (remainder 206 40))))
....

你可以看到区别。