Maple，编写一个 Proc 来计算矩阵的逆

Question

所以我正在研究一个包含两个部分的问题。我确实在 :this useful Forum 的帮助下完成了第一部分。一些机构已经尝试解决问题的第一部分，我拿走了他们的代码。

问题：

1. 在 Maple 中编写一个 proc（我将其命名为 “reduced”），用于计算矩阵的简化梯形形式。
2. 编写一个使用“reduced”计算逆矩阵的过程。

第一部分的代码（代码经过测试，我声称它运行正确）

  multiplikation:= proc(
     m::posint,
     a::depends(And(posint, satisfies(a-> a <= m))),
     b::And({float, rational}, Not(identical(0,0.)))
)
     Matrix((m,m), (i,j)-> `if`(i=j, `if`(i=a, b, 1), 0))
end proc:

addition:= proc(
     m::posint,
     a::depends(And(posint, satisfies(a-> a <= m))),
     b::depends(And(posint, satisfies(b-> b <= m))),
     c::And({float, rational}, Not(identical(0,0.)))
)
     Matrix((m,m), (i,j)-> `if`(i=a and j=b, c, `if`(i=j, 1, 0)))
end proc:

perm:= proc(
     m::posint,
     a::depends(And(posint, satisfies(a-> a <= m))),
     b::depends(And(posint, satisfies(b-> b <= m and a<>b)))
)
     Matrix((m,m), (i,j)-> `if`({i,j}={a,b} or i=j and not i in {a,b}, 1, 0))
end proc:

和主要过程：

reduced:= proc(B::Matrix)
uses LA= LinearAlgebra;
local
     M:= B, l:= 1, #l is current column.
     m:= LA:-RowDimension(M), n:= LA:-ColumnDimension(M), i, j
;
     for i to m do   #going through every row item
          #l needs to be less than column number n.
          if n < l then return M end if;
          j:= i;   #Initialize current row number.
          while M[j,l]=0 do   #Search for 1st row item <> 0.
               j:= j+1;
               if m < j then   #End of row: Go to next column.
                    j:= i;
                    l:= l+1;
                    if n < l then return M fi   #end of column and row
               end if
          end do;
          if j<>i then M:= perm(m,j,i).M end if;   #Permute rows j and i
          #Multiply row i with 1/M[i,l], if it's not 0.
          if M[i,l] <> 0 then M:= multiplikation(m,i,1/M[i,l]).M fi;
          #Subtract each row j with row i for M[j,l]-times.
          for j to m do if j<>i then M:= addition(m,j,i,-M[j,l]).M fi od;
          l:= l+1   #Increase l by 1; next iteration i increase either.
     end do;
     return M
end proc:

如果您需要有关上述代码的任何其他信息，我会解释更多。

对于第二部分，我正在考虑使用Gauss Jordan Algorithmus，但我有一个问题： 我不能使用单位矩阵作为“减少”中的参数。因为它在行和列中都有 0。

您知道如何在我的 proc 的帮助下实现 Gauss Jordan 算法：减少吗？

Answer 1

既定目标是利用reduced 过程。

一种方法是通过单位矩阵扩充输入矩阵，减少它，然后返回扩充后的矩阵的右半部分。

将输入矩阵转换为单位矩阵的步骤也将单位矩阵转换为（输入矩阵的）逆矩阵。

例如，使用您的程序，

inv := proc(B::Matrix(square))
  local augmented,m;
  uses LinearAlgebra;
  m := RowDimension(B);
  augmented := <<B|IdentityMatrix(m)>>;
  return reduced(augmented)[..,m+1..-1];
end proc:

MM := LinearAlgebra:-RandomMatrix(3,generator=1..5);

           [1  4  2]
           [       ]
     MM := [1  5  3]
           [       ]
           [2  3  5]

ans := inv(MM);

         [ 8  -7   1]
         [ -  --   -]
         [ 3  3    3]
         [          ]
         [ 1   1  -1]
  ans := [ -   -  --]
         [ 6   6  6 ]
         [          ]
         [-7   5   1]
         [--   -   -]
         [6    6   6]

ans.MM, MM.ans;

     [1  0  0]  [1  0  0]
     [       ]  [       ]
     [0  1  0], [0  1  0]
     [       ]  [       ]
     [0  0  1]  [0  0  1]

ps。您可能还想考虑当矩阵不可逆时您的reduce 程序会做什么。