数字组合的总和

Question

我想以最快的方式解决一个数学问题。 我有一组介于 1 到 n 之间的自然数，例如 {1,2,3,4,n=5}，我想计算如下公式：

s = 1*2*3*4+1*2*3*5+1*2*4*5+1*3*4*5+2*3*4*5

如您所见，和中的每个元素都是集合中 n-1 个数字的乘积。例如，在 (1*2*3*4) 中，5 被排除在外，在 (1*2*3*5) 中，4 被排除在外。我知道有些乘法是重复的，例如 (1*2) 在 3 次乘法中重复。我怎样才能用最少的乘法来解决这个问题。

抱歉英语不好。 谢谢。

Answer 1

这是一种不会“作弊”的方法，即用重复加法或除法代替乘法。这个想法是用

替换你的表达

1*2*3*4 + 5*(1*2*3 + 4*(1*2 + 3*(1 + 2)))

这对数字 1 到 5 使用了 9 次乘法。一般来说，我认为乘法计数会比第 (n-1) 个三角形数 n * (n - 1) / 2 - 1 少一。这里是存储中间阶乘值以将乘法次数减少到仅 6 次的 Python 代码，或者通常为 2 * n - 4，并且加法计数相同（但其中一半只是加 1）：

def f(n):
    fact = 1
    term = 2
    sum = 3
    for j in range(2, n):
        fact *= j
        term = (j + 1) * sum
        sum = fact + term
    return sum

找出哪种算法最快的唯一方法是用一种语言对所有算法进行编码，并使用计时器运行每个算法。

Answer 2

以下将是最直接的答案。

def f(n):
    result = 0
    nList = [i+1 for i in range(n)]
    for i in range(len(nList)):
        result += reduce(lambda x, y: x*y,(nList[:i]+nList[i+1:]))
return result

演练 - 使用 reduce 函数将所有长度为 n-1 的列表相乘并添加到变量结果中。

Answer 3

如果你只是想尽量减少乘法的次数，你可以用加法代替所有的乘法，像这样：

// Compute 1*2*…*n
mult_all(n):
    if n = 1
        return 1
    res = 0
    // by adding 1*2*…*(n-1) an entirety of n times
    for i = 1 to n do
        res += mult_all(n-1)
    return res

// Compute sum of 1*2*…*(i-1)*(i+1)*…*n
sum_of_mult_all_but_one(n):
    if n = 1
        return 0
    // by computing 1*2*…*(n-1) + (sum 1*2*…*(i-1)*(i+1)*…*(n-1))*n
    res = mult_all(n-1)
    for i = 1 to n do
        res += sum_of_mult_all_but_one(n-1)
    return res

Answer 4

这是一个适用于 javascript 的答案。这不是最快的方法，因为它没有经过优化，但是如果您只想找到答案，它应该可以工作。

function combo(n){
var mult = 1;
var sum = 0;
for (var i = 1; i <= n; i++){
    mult = 1;
    for (var j = 1; j<= n; j++){
        if(j != i){
            mult = mult*j;
        }
    }
    sum += mult;
}
return (sum);
}

alert(combo(n));