如何从单个集合中枚举组合的组合

Question

我意识到有很多关于组合学和枚举的问题，但我四处搜索并没有找到任何与我所追求的东西特别相关的东西。如果我错过了什么，请指出它，问题可以结束。

所以，假设我们有一组 N 个元素，并且我们有 x 个正整数 k1,...,kx，其中 Sum(k1,...,kx)

我希望我的措辞正确。如果我没有，一个简单的例子。
N = 4，x = 2，k1 = 2，k2 = 1。

我们应该枚举

• {1, 2} {3}
• {1, 2} {4}
• {1, 3} {2}
• {1, 3} {4}
• {1, 4} {2}
• {1, 4} {3}
• {2, 3} {1}
• {2, 3} {4}
• {2, 4} {1}
• {2, 4} {3}
• {3, 4} {1}
• {3, 4} {2}

在一般情况下，我认为总数是：

C(N, k1) * C(N - k1, k2) * ... * C(N - Sum(k1,...,kn-1), kn)。

我最初的猜测是，这可以使用堆栈相当容易地完成。在每个堆栈级别 i 子集 ki 将使用标准组合枚举生成，或者从每个级别的源集中删除那些已选择的元素，或者仅从原始集中枚举并跳过之前已包含元素的情况.

我的问题，有没有更快/更优雅的解决方案？

Answer 1

您的问题正是枚举多集排列的问题。 （假设你的 k_i 是有序的）。

首先，请注意，该问题完全等价于 Σk 等于; N，因为如果 Σk x+1，其值为 N - Σk。

现在，将原始集合 S 的元素按任意固定顺序放置，并生成由 k₁ 1's, k₂ 2's, k 组成的多重集的每个排列₃ 3 个，... k_x 个 x。这个多重集具有与 S 相同的大小 (N)，因为 k_i 的总和为 N。我们通过将 S 中的每个元素分配给其索引为对应的子集来创建 S 的分区多重集排列中的值。

例如，S = {apple,banana,chirimoya,date} (N = 4)。我们取 k₁ = 2 和 k₂ = 1 并加上 k₃ = 1 使总和为 4。（我们只需忽略分配给子集 3) 的元素。现在我们枚举多重集1 1 2 3 的排列（它有两个1，一个2，一个3，对应于k）：

1 1 2 3    1 2 3 1    2 1 1 3    3 1 1 2
1 1 3 2    1 3 1 2    2 1 3 1    3 1 2 1
1 2 1 3    1 3 1 1    2 3 1 1    3 2 1 1

我们将这些转换回 S 的分区。例如，取1 3 1 2：

apple     1 -> subset 1
banana    3 -> unused
chirimoya 1 -> subset 1
date      2 -> subset 2

所以我们有{{apple, chirimoya}, {date}}

用于查找集合排列的standard algorithm 在多集合上也同样有效，尽管如果多集合有很多重复项，它就不是最佳的了。