如何计算不超过一定值的 2 组或更多组值之间的可能数字的数量？

Question

当我对 pair 的两个元素求和时，如何从一组不超过一定值的 n 值中计算可能的数字对的数量？

例如，如果我们想知道 0.1 到 100 之间的两组值之间的可能组合，我们应该计算 1000 x 1000 等于 100 万，对吗？但是如何从这 100 万个算法中找出不超过 100 个（当你将它们相加时）的组合呢？

例如：

• 向量 X 和 Y 的范围都在 0.1 和 100 之间（每个 1000 个可能的数字）

• 元素之和不超过100的对的向量X和Y有哪些可能的组合？

可接受的情况是：

排除的情况如下：

那么对于 3 种情况或 n 种情况呢？

.Net 中是否有任何简单的代码来计算这个？或任何简单的数学公式？

提前致谢

Answer 1

没那么难：

SortedSet<Tuple<decimal,decimal>> set = new SortedSet<Tuple<decimal, decimal>>();
int n = 0 ;

for ( decimal a = 0.1m ; a <= 100m ; a += 0.1m )
{
  for ( decimal b = 100m - a ; b > 0m ; b -= 0.1m )
  {
    if ( a+b > 100m ) throw new InvalidOperationException();
    ++n ;
    set.Add(new Tuple<decimal,decimal>(a,b)) ;
  }
}

一天结束时，n 是 499,500。

如果不构建 SortedSet 并使用 System.Diagnostics.Stopwatch 对其进行计时，它会在大约 4/100 秒（0.040456 秒）内运行（在调试器中）。构建SortedSet 确实需要更长的时间（在调试器中为 2.47 秒）。

Answer 2

我将描述如何从两个元素对的排列中排除超过 100 个的对，其中重复由 1000 个元素有序集合组成。然而，如果你想计算这个，或者只是从任意对集合中排除这样的对，这还不清楚。如果稍后是这种情况，那么您必须简单地遍历它们，计算总和并进行比较。

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如果你区分

(a, b) 和 (b, a)

这意味着您对重复排列感兴趣。

您可以从 1000 个元素集中制作 1000^2 个这样的 2 个元素对。它们可以重新排序为：

(0.1, 0.1), (0.1, 0.2), (0.1, 0.3), ... , (0.1, 99.8), (0.1, 99.9), (0.1, 100) // 1000
(0.2, 0.1), (0.2, 0.2), (0.2, 0.3), ... , (0.2, 99.8), (0.2, 99.9), (0.2, 100) // 1000
...
(100, 0.1), (100, 0.2), (100, 0.3), ... , (100, 99.8), (100, 99.9), (100, 100) // 1000

很容易看出有 1000 * 1000 个。

现在您可以观察到，当您对它们进行限制以使总和小于或等于 100 时，当我们将它们重新排序为总和时很容易发现一个规则：(a+b) 而不是 (a,b):

(0.2), (0.3), (0.4), ... , (99.9), (100), (100.1)         // 1 is wrong
(0.3), (0.4), (0.5), ... , (100), (100.1), (100.2)        // 2 are wrong
...
(100.1), (100.2), (100.3), ... , (199.8), (199.9), (200)  // 1000 are wrong

数一数？

1000 * 1000 - (1 + 2 + ... + 1000) = 1 000 000 - (1+1000)*1000/2 = 
1 000 000 - 1 001 000 / 2 = 1 000 000 - 500 500 = 499 500

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公式1：sum

一般以下公式成立：

p = n^k - [ sum_(k-1)_n + n * ( n^(k-1) - ( n - k + 2))]

地点：

• p - 元素总和
• k - 元素对的数量（即 2）
• n - 向量的大小（即 1000）
• sum_(k-1)_n - 从 k-1 到 n 的整数之和 = k-1 + k-1+1 + k-1+2 + ... + n = ( k-1 + n) * (n-k+2)/2

如果 n=1000，k=2：p = 1000^2 - sum_(1)_1000 在n=1000，k=3的情况下：p = 1000^3 - [ sum_(2)_1000 + 1000 * ( 1000^2 - 999)]

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公式 2：sum = 100 的对数

正如您在 cmets 中所描述的，您实际上对总和等于 100 的对感兴趣，而不是 <= 100。美好的。如果您对sum = 100 的一些配对感兴趣，它是：

p = sum (i)_(k-1)_(n^(k-1)) of [ n^(k-1) - i)]

这是从i = k-1 到i = n^(k-1) 形式n^(k-1) - i 的表达式的总和

可以简写为：

p = sum (j)_(0)_(n^(k-1) -k + 1) of j

这是从j = 0 到j = n^(k-1) -k + 1 整数j 的总和。这与以下内容相同：

p = ( 1 + n^(k-1) -k + 1) * ( n^(k-1) -k + 1) / 2   // arithmetic series

无需运行循环，数学很简单； )