有效括号加泰罗尼亚语数说明

Question

在研究catalan numbers时，我遇到的一些应用是：

1. 没有可能使用 n 个节点的二叉搜索树。
2. 没有办法使用圆上的 2*n 个点绘制不相交的弦。
3. 没有办法排列 n 对括号。

虽然我理解前两个问题，加泰罗尼亚数字如何适合他们的解决方案，但我无法理解它们如何适合第三个问题。

在互联网上找不到任何其他有用的资源来解释 HOW 部分。每个人都只是说这是解决方案。

谁能解释一下。

Answer 1

由于其他人似乎不同意我认为这个问题是题外话，我现在决定它是题外话并提供并回答。

Wikipedia 确实对“排列 n 对括号的方法的数量”（this link 中的第二个要点）感到困惑。部分困惑是括号字符串的顺序与顺序不匹配二叉树，你确实理解，或者有很多其他的例子。

这是一种将正确匹配的n 括号对字符串转换为具有n 内部节点的二叉树的方法。考虑最左边的括号，这将是一个左括号，以及与之匹配的右括号。将字符串变成二叉树的一个节点。当前考虑的括号inside的子字符串成为该节点的左子节点，当前考虑的括号之后（右侧）的子字符串- 考虑的右括号成为右孩子。一个或两个子字符串可能为空，并且当前考虑的括号被简单地删除。如果任一子字符串不为空，则递归继续此过程，直到删除所有括号。

这里有两个例子。让我们从字符串((())) 开始。我们从

考虑的括号是最外面的括号。这变成了

（我没有费心绘制外部叶节点）然后

然后

这是维基百科最左边的二叉树，有 3 个内部节点。

现在让我们创建另一个字符串(())()。我们从

同样，考虑的括号是最外面的括号。这转换为

现在考虑的括号是前两个，而不是最外面的。这变成了

最后变成了

这是维基百科列表中的第二棵二叉树。

我希望你现在明白了。这是正确配对的所有五个可能的 3 对括号字符串的列表，然后是 Wikipedia 的二叉树列表。这些列表现在相互对应。

    ((()))       (()())        (())()       ()(())       ()()()