计算两个 3D 向量之间的 3D 欧拉角？答案

【问题标题】：Calculate 3D Euler angle between two 3D vectors?计算两个 3D 向量之间的 3D 欧拉角？
【发布时间】：2014-04-30 14:15:55
【问题描述】：

假设我有 2 个 3D 向量，每个向量都描述 3D 空间中的一个方向（或旋转，但我不确定该术语是否正确）。我将如何计算两个向量之间的差异作为欧拉角？也就是说，如果我将角度应用于第一个向量，它会旋转到等于另一个？我了解欧拉角如何存在问题并且依赖于实现，但我不知道这对我这样的问题有什么影响。

澄清一下，当我说“3D 矢量”时，我指的是您在大多数 3D 建模包或 Unity（这是我正在使用的）中获得的“平移”小工具。

编辑：实际上我只是回顾了我正在使用的“向量”，我所说的并不完全正确。我实际上有 6 个向量，每个旋转 3 个。每个向量都是 3D 空间中从旋转中心偏移的位置。这可能会让一个已经很困难的问题变得几乎不可能，对吧？

附加信息：好的，所以我已经弄清楚了我真正想问的问题（因为这个问题做得很糟糕），它更适用于 Unity ，所以我问了一个更具体的 Unity 问题over on Unity Answers。

我通常不理解网上发布的数学公式，所以 C++ 风格的伪代码对我来说是最有帮助的。

任何帮助将不胜感激，如果我的问题缺少某些信息，请询问更多:)

【问题讨论】：

当你说你有 6 个向量时？你的意思是你有 2 个正交向量集，因为你有 2 个完全定义的矩阵，并且你想要从一个空间到另一个空间的变换矩阵，这被分解为欧拉旋转。你使用什么轮换顺序？
.... 是英文的？我不知道你刚才说了什么。我可能会在我的问题中使用某些正确的术语，但最好是假设我对...一无所知......好吧，任何事情。

标签： vector 3d rotation unity3d angle

【解决方案1】：

如果您要进行 3d，您需要了解线性代数和矩阵表示法。[1]仿射 4x4 矩阵是我见过的所有 3d 应用程序中空间变换的基础（欧拉角只是提供了描述该矩阵的替代方法）。甚至统一使用矩阵，尽管为了能够有效地执行欧拉-拉格朗日粒子运动方程，他们更喜欢具有分解形式。一个矩阵用 4 个向量对整个空间进行编码。在这种情况下，这在概念上很容易（不是矩阵的唯一用途），矩阵编码方向 x y z 和偏移向量 w。

矩阵表示法有用的原因是：可以操纵普通数学符号等事物。如果你记得从学校解决 x 来自：

a * x = b

两边除以a，得到

a/a * x = b /a ->
x = b / a

现在，如果您有 2 个空间，每个空间有 3 个向量，那么您基本上在原点有 2 个完全形成的空间。假设向量跨越一个 3D 空间（换句话说，不要全部指向一个平面，如果它们相互正交则更好，在这种情况下，您可以直接使用变换函数）。这意味着你有 3 个空格。所以你的问题是你知道2个空格。您需要知道空间 A -> 空间 B 的空间变换（习惯上给矩阵大写字母以表示它们更复杂）。这是数学上的：

A * X = B

其中 * 是矩阵乘法，A、X 和 B 是变换矩阵。所以然后除以 A，但是没有矩阵除法，幸运的是有逆矩阵除法是乘以逆，所以这就是我们所做的。另外一个注意旋转不是可交换的，所以我们需要指定我们在哪一侧相乘，因为 A 在 X 之前，我们在左侧乘以 A 的倒数。所以我们得到：

A^-1 * A * X = A^-1 * B

其中 ^-1 表示矩阵逆。这简化为：

I * X = A^-1 * B ->
X = A^-1 * B

X 是旋转空间。在统一代码中，这看起来像：

X = A.inverse * B

其中 X、A 和 B 是 Matrix4x4 元素您使用的语言可能有其他约定我在这里使用 java 脚本参考。您可以将此矩阵转换为四元数，然后从那里转换为欧拉角，可以在here 找到一个示例。

如何从向量中形成 A 和 B？只需将起始空间的向量放入 A 的 0-2 列，将目标空间对应于 B 列[2]。

[1] 是的，它是强制性的，它比最初看起来要简单得多。虽然没有它们你可以活得很远，但使用它们并不比说围绕 x 轴来回旋转某某更难。还要学习quats。

[2] 我应该检查一下，但 unity 似乎使用列矩阵，所以应该是正确的

PS：顺便说一句，如果您有嘈杂的数据并且每个实例有超过 3 个向量，那么您可以使用最小二乘法来平均矩阵 t 一个 3 x 3 子矩阵。

【讨论】：