用 N 个给定元素构建 BST 是 O(n lg n) 吗？答案

【问题标题】：Is building a BST with N given elements is O(n lg n)?用 N 个给定元素构建 BST 是 O(n lg n) 吗？
【发布时间】：2017-01-07 10:38:21
【问题描述】：

用给定的任意 N 个元素构建二叉搜索树的最坏情况时间复杂度是多少？

我认为 N 个给定元素和 一个接一个出现的元素之间存在差异，从而产生总共 N 个元素的 BST。

在前一种情况下，它是 O(n log n) ，在第二种情况下是 O(n^2) 。我说的对吗？

【问题讨论】：

一个一个地取元素，然后一次性处理整个事情有什么不同？
我认为，后一种情况可以构建一个 Skewed BST ，从而具有 O(n^2)
一个接一个地接受数字在时间上是 O(n)，在空间上是 O(n)。您现在可以对它们进行排序，并在 O(n*log n) 中构建一棵完美的树。如果您必须随时构建树（即输入没有额外的 O(n) 空间可用），那么在 O(n^2) 最坏的情况下，您最终可能会得到一个不平衡的树。
是的，这对我来说更清楚。一切都与空间有关。如果我没有空间容纳整数，那么它会产生倾斜，否则，我可以将它们全部收集并存储以排序并获得平衡树，对吗？
完全正确。

标签： algorithm binary-search-tree

【解决方案1】：

如果Binary Search Tree (BST) 不是完美平衡的，那么最坏情况的时间复杂度是O(n^2)。通常，BST 是通过重复插入构建的，因此最坏的情况是O(n^2)。但是如果可以对输入进行排序（在O(nlogn)中），则可以在O(n)中构建，导致整体复杂度为O(nlogn)

如果BST是self-balancing，那么即使我们重复插入，最坏情况的时间复杂度也是O(nlog n)。

【讨论】：

（实际上，完美平衡（叶子的深度最多相差一个）不是先决条件。任何深度限制是函数限制运行时间的因素之一。）
如果您在构建树时重新平衡树（并且某些方法（例如 treaps）不需要节点中的额外数据），那么您可以在 O(n log n) 中一次构建一个节点时间。