在 O(n*log n) 的给定 n 个元素的数组中查找 2b=a+c 是否？ [复制]

Question

有人可以提供一个 O(n*log n) 算法，它接受一个长度为 n 的数组，其中的元素在范围内 {1,2,3....n} 作为输入并检查数组是否包含 2b = a+c ？我知道如何在 O(n * n) 中做到这一点，但我需要将其优化为 O(n* log n)。

Answer 1

如果您不知道答案，请不要嘲笑这些问题。我自己通过cmets中发布的链接找到了答案。 来源：O(nlogn) Algorithm - Find three evenly spaced ones within binary string

解决办法是， 令 L = [1, 2, 4, 5, 8]。

1. 现在的问题是在 L 中找到长度为 3 的算术级数，即在 L 中找到不同的 a、b、c，使得 b-a = c-b，或等效地 a+c=2b。对于上面的示例，我们希望找到级数 (2, 5, 8)。

为 L 中的每个 k 创建一个多项式 p，其中项为 xk。对于上面的示例，我们使多项式 p(x) = (x + x2 + x4 + x5+x8)。这一步是O(n)。

使用快速傅里叶变换求多项式 q = p2。对于上面的示例，我们得到多项式 q(x) = x16 + 2x13 + 2x12 + 3x10 + 4x9 + x8 + 2x7 + 4x6 + 2x5 + x4 + 2x3 + x2。这一步是 O(n log n)。

对于 L 中的一些 k，忽略除对应于 x2k 的所有项。对于上面的示例，我们得到项 x16、3x10、x8、x4、x2。这一步是 O(n)，如果你选择这样做的话。

这是关键点：L 中 b 的任何 x2b 的系数恰好是 L 中对 (a,c) 的数量，使得 a+c=2b。 [CLRS，前。 30.1-7] 这样的一对总是 (b,b)（所以系数至少为 1），但如果存在任何其他对 (a,c)，则系数至少为 3，来自 (a,c ) 和 (c,a)。对于上面的例子，我们有 x10 的系数正好是 3，因为 AP (2,5,8)。 （由于上述原因，这些系数 x2b 将始终为奇数。q 中的所有其他系数将始终为偶数。）

所以总时间复杂度不会超过 O(n* logn)。

谢谢。