使用泰勒级数的平方根答案

【问题标题】：Square root using Taylor series使用泰勒级数的平方根
【发布时间】：2013-01-10 08:37:20
【问题描述】：

我想使用泰勒级数计算平方根。我只是在学习这个系列，我写了一些代码，但我不知道为什么它不起作用，也许我不应该把 i 喂给它？请任何人向我解释我做错了什么？

我有来自http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#List_of_Maclaurin_series_of_some_common_functions的公式

from math import sqrt

def factorial(n):
    result = 1
    for i in range(2, n+1):
        result *= i
    return result

def binomical(alpha, n):
    result = 1
    for i in range(0, n):
        result *= (alpha - i)
    return result / factorial(n)

for i in range(1, 10):
    x = sum(binomical(0.5, k) * i ** k for k in range(10))
    print x, sqrt(i)

【问题讨论】：

它是python，你应该把它标记为python。
关于你想拍泰勒系列的哪一点？如果您认为x=0 它没有定义。
令人惊讶的是，远离x=1 的误差会随着考虑的项越多而变大。
@ja72: 大约 1 到 10，也就是我想计算 10 个平方根并将它们与标准函数进行比较。

标签： python math square-root

【解决方案1】：

有两个问题，一个小问题，一个大问题。次要的是扩展是用(1+x)^alpha而不是x^alpha写的，所以你的i**k应该真的是(i-1)**k。这样做会使您的输出为

1.41920471191 1.0
5.234375 1.41421356237

您可以在哪里看到您对sqrt(1) 的回答与sqrt(2) 之间的关系是多么可疑

1.0 1.0
1.41920471191 1.41421356237

这要好得多。不幸的是，剩下的条款仍然不是很好：

5.234375 1.73205080757
155.677841187 2.0
2205.0 2.2360679775
17202.2201691 2.44948974278
91687.28125 2.64575131106
376029.066696 2.82842712475
1273853.0 3.0

并且将总和的项数从 10 增加到 100 会使事情变得更糟：

1.0 1.0
1.4143562059 1.41421356237
1.2085299569e+26 1.73205080757
3.68973817323e+43 2.0
9.21065601505e+55 2.2360679775
3.76991761647e+65 2.44948974278
2.67712017747e+73 2.64575131106
1.16004174256e+80 2.82842712475
6.49543428975e+85 3.0

但这是意料之中的，因为正如您链接的页面所解释的那样，只有当 x 的绝对值小于 1 时才能保证收敛。所以我们可以很好地获得小数的根：

>>> i = 0.7
>>> sum(binomical(0.5, k) * (i-1) ** k for k in range(10))
0.8366601005565644
>>> i**0.5
0.8366600265340756

我们可以尝试缩小规模以处理其他数字：

>>> i0 = 123.0
>>> i = i0/(20**2)
>>> sum(binomical(0.5, k) * (i-1) ** k for k in range(50))
0.5545268253462641
>>> _*20
11.090536506925282
>>> i0**0.5
11.090536506409418

或者在不同的点上取泰勒级数，等等。

一般的结论是泰勒级数有一个radius of convergence——可能为零！ ——在其中他们给出了正确的结果。维基百科泰勒系列页面有一个关于“近似和收敛”的部分，其中涵盖了这一点。

(P.S. “二项式”中没有“c”。:^)

【讨论】：

非常感谢您的详细解答！