子集和变化

Question

给定一个整数 n 和 s 大小不同的集合，但以从 0 到 s_i 的正升序数字作为元素。让一个好的总和在这里定义为a_1 + a_2 + ... + a_s = n。计算存在多少总和，当您从对应的集合 s_i 中为每个 a_i 取一个元素时。

我试图生成任何可能的方式并省略那些可省略的方式，即当你有例如s=3、n=1 并且给你集合s_0={0,1}、s_1={0,1,2,3}、s_2={0,1,2}，那么你可以省略检查总和 0 + 0 + a_3，因为 a_3 不够大。 我已经为每个可能的序列应用了正常子集和的动态编程解决方案，但是，我得到的结果比我应该得到的要大得多，而且速度也很慢。

有什么好的算法可以在这里应用吗？

Answer 1

您可以通过使用两个字典（数组也可以工作，但字典更好）来对经典的子集求和解决方案进行细微的修改：

dp[i] = dictionary of sums we can obtain using the first i sets and their counts


dp[0, <elements in s[0]>] = 1
for i = 1 to s - 1:
  for each element x in dp[i - 1]:
    for each element k in s[i]:
      dp[i, x + k] += dp[i - 1, x]

复杂性会非常大，但我认为您无法减少它。不过它应该可以工作。

您可以在内存中只保留两个字典，因为您只需要当前和以前的字典。

Python 代码：

def solve(s, n):

    dp = [dict()] * len(s)

    for k in s[0]:
        dp[0][k] = 1
    for i in range(1, len(s)):
        dp[i] = dict()
        for x in dp[i - 1]:
            for k in s[i]:
                if x + k in dp[i]:
                    dp[i][x + k] += dp[i - 1][x]
                else:
                    dp[i][x + k] = dp[i - 1][x]

    return dp[len(s) - 1][n]

print(solve([[0,1,2],[0,1,2]], 3)) # prints 2
print(solve([[0,1,2],[0,1,2,3,4],[0,1,2,3,4]], 5)) # prints 13