给定3 正整数n, k, and sum，精确找到k 不同元素的数量a_i，其中a_i \in S, 1 <= i <= k, and a_i \neq a_j for i \neq j
而且，S 是集合S = {1, 2, 3, ..., n}
这样\sum_{i=1}^{k}{a_i} = sum
由于指数复杂性，我不想应用蛮力（检查所有可能的组合）来解决问题。有人可以提示我解决此问题的另一种方法吗？另外，我们如何利用集合S 已排序的事实？
在这个问题中是否可能有O(k) 的复杂性？
【问题讨论】：
标签： algorithm set subset-sum
一个如何利用1..n设置属性的想法：
从a开始的自然行的k个连续成员的总和是
sum = k*(2*a + (k-1))/2
为了得到所需s的子序列之和，我们可以解决
a >= s/k - k/2 + 1/2
or
a <= s/k - k/2 + 1/2
比较 s 和 sum 的值并进行更正。
例如，有s=173、n=40和k=5，我们可以找到
a <= 173/5 - 5/2 + 1/2 = 32.6
对于起始编号 32，我们有序列 32,33,34,35,36 和 sum = 170，对于 3 更正，我们可以将 36 更改为 39，或者将 34,35,36 更改为 35,36,37 等等。
似乎使用这种方法我们得到了 O(1) 复杂度（当然，可能存在一些我确实错过的细微之处）
【讨论】：
可以修改pseudo-polynomial algorithm for subset sum。
准备一个维度为k X sum的矩阵P，并将所有元素初始化为0。P[p, q] == 1的含义 是有一个 p 个数和 q 的子集，而 P[p, q] == 0 表示这样的尚未找到子集。
现在迭代 i = 1, ..., n。在每次迭代中：
如果i ≤ sum，设置P[1, i] = 1（有一个大小为1的子集达到i em>)。
对于任何条目 P[p, q] == 1，您现在知道 P[p + 1, q + i] 现在应该是1也。如果(p + 1, q + i)在矩阵的边界内，设P[p + 1, q + i] = 1。
最后，检查是否P[k, sum] == 1。
假设所有整数数学运算都是常数，复杂度是Θ(n2 sum)。
【讨论】：
有一个 O(1)（可以这么说）的解决方案。接下来是@MBo 对这个想法的足够正式（我希望）的发展。
假设S 是所有整数的集合并找到最小解就足够了。解决方案K 小于K' iff max(K) < max(K')。如果max(K) <= n，那么K也是原问题的解决方案；否则，原问题无解。
所以我们忽略n 并找到K，这是一个最小的解决方案。让g = max(K) = ceil(sum/k + (k - 1)/2) 和s = g + (g-1) + (g-2) + ... (g-k+1) 和s' = (g-1) + (g-2) + ... + (g-k)。也就是说，s' 是 s 下移 1。注意 s' = s - k。
显然是s >= sum 和（因为K 最小）s' < sum。
如果s == sum 解决方案是K，我们就完成了。否则考虑集合K+ = {g, g-1, ..., g-k}。我们知道\sum(K+ \setminus {g}) < sum 和\sum(K+ \setminus {g-k}) > sum，因此，有一个K+ 的元素g_i 使得\sum (K+ \setminus {g_i}) = sum。解决办法是K+ \setminus {\sum(K+)-sum}。
4 个整数 a, b, c, d 形式的解可以在 O(1) 中计算，其中实际集合被理解为 [a..b] \setunion [c..d]。
【讨论】：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
unsigned long int arithmeticSum(unsigned long int a, unsigned long int k, unsigned long int n, unsigned long int *A);
void printSubset(unsigned long int k, unsigned long int *A);
int main(void)
{
unsigned long int n, k, sum;
// scan the respective values of sum, n, and k
scanf("%lu %lu %lu", &sum, &n, &k);
// find the starting element using the formula for the sum of an A.P. having 'k' terms
// starting at 'a', common difference 'd' ( = 1 in this problem), having 'sum' = sum
// sum = [k/2][2*a + (k-1)*d]
unsigned long startElement = (long double)sum/k - (long double)k/2 + (long double)1/2;
// exit if the arithmetic progression formed at the startElement is not within the required bounds
if(startElement < 1 || startElement + k - 1 > n)
{
printf("-1\n");
return 0;
}
// we now work on the k-element set [startElement, startElement + k - 1]
// create an array to store the k elements
unsigned long int *A = malloc(k * sizeof(unsigned long int));
// calculate the sum of k elements in the arithmetic progression [a, a + 1, a + 2, ..., a + (k - 1)]
unsigned long int currentSum = arithmeticSum(startElement, k, n, A);
// if the currentSum is equal to the required sum, then print the array A, and we are done
if(currentSum == sum)
{
printSubset(k, A);
}
// we enter into this block only if currentSum < sum
// i.e. we need to add 'something' to the currentSum in order to make it equal to sum
// i.e. we need to remove an element from the k-element set [startElement, startElement + k - 1]
// and replace it with an element of higher magnitude
// i.e. we need to replace an element in the set [startElement, startElement + k - 1] and replace
// it with an element in the range [startElement + k, n]
else
{
long int j;
bool done;
// calculate the amount which we need to add to the currentSum
unsigned long int difference = sum - currentSum;
// starting from A[k-1] upto A[0] do the following...
for(j = k - 1, done = false; j >= 0; j--)
{
// check if adding the "difference" to A[j] results in a number in the range [startElement + k, n]
// if it does then replace A[j] with that element, and we are done
if(A[j] + difference <= n && A[j] + difference > A[k-1])
{
A[j] += difference;
printSubset(k, A);
done = true;
break;
}
}
// if no such A[j] is found then, exit with fail
if(done == false)
{
printf("-1\n");
}
}
return 0;
}
unsigned long int arithmeticSum(unsigned long int a, unsigned long int k, unsigned long int n, unsigned long int *A)
{
unsigned long int currentSum;
long int j;
// calculate the sum of the arithmetic progression and store the each member in the array A
for(j = 0, currentSum = 0; j < k; j++)
{
A[j] = a + j;
currentSum += A[j];
}
return currentSum;
}
void printSubset(unsigned long int k, unsigned long int *A)
{
long int j;
for(j = 0; j < k; j++)
{
printf("%lu ", A[j]);
}
printf("\n");
}
【讨论】：