为什么我们在最近对算法中最多比较 7 个点？答案

【问题标题】：Why do we compare at most 7 points in closest pair algorithm?为什么我们在最近对算法中最多比较 7 个点？
【发布时间】：2012-04-07 09:59:06
【问题描述】：

所以，如果在δ * 2δ矩形R内，我们只需要比较左边的1点和右边的7点。我不明白的是，尽管阅读了证明，但在 R 内部，我们可以在矩形内填充任意数量的点，这可能超过 7 的总数。想象一下，如果我们有 δ = 2，一个点 p(1.2, 1.1) 在左边，在右边，我们有一大堆 q，比如 q(1.5, 1.7) , q(1.4, 1.3),.....怎么只能比较 7 个点来检测最近的一对？我认为如果是这种情况，我们必须比较矩形 R 内的每个点。请帮帮我。

【问题讨论】：

我们能有一个“证明”的链接吗？
我不认为这个问题在这里不合适，但您可能会在 Math 网站上得到更好的答案：math.stackexchange.com
@BlueRaja-DannyPflughoeft 您可以在 Google 图书中查看算法简介：books.google.com.vn/…
查看this answer 中的链接。它们提供了很好的参考。特别是Figure 33.11 from Introduction to Algorithms.
具体来说，q(1.5,1.7)和q(1.4,1.3)之间的距离小于δ，这通过δ的构造是不可能的。

标签： algorithm

【解决方案1】：

您的矩形内可能只有 6 个点，因为这是您可以在边为 δ 和 2δ 的矩形中放置的最大点数，同时保持它们彼此之间的距离至少为 δ。

这6个点的铺设方式如下图所示：

您可以自行检查是否可以在矩形内放置另一个点而不违反距离属性。如果添加超过 6 个点，它们之间的距离将小于 δ，这是矛盾的，因为 δ 应该是最近点之间的距离。

由于最多可能有 6 个点，测试 7 将保证您找到解决方案。

我从these UCSB slides 得到了图1，可能对你有用。

【讨论】：

谢谢。通过您的简单解释，它使事情变得更清楚了。但是，在幻灯片中，据说“如果每对至少相距 delta，则 R 内可以有多少点”？幻灯片中的答案是 6 inside R，而不是 R 的边界。
@Amumu 是的，但它们的真正意思是“在边界内或边界上”。如果您认为答案足够好，您应该接受答案。 =)
当然，但唯一的困惑是 7 点常数。我的意思是，我不能在 R 中放置无限数量的点来创建具有小于 \delta 距离的无限对。无限可能太多了，但如果我有大约 20 个点的距离小于 \delta，那么只测试 7 个点有什么意义呢？
我突然明白了。 R 内的所有对必须是 delta 分开的，因为如果它小于 delta，则该对必须自身 delta 。这意味着矛盾，因为 delta 应该是这最后一步之前的最小距离，这意味着我们寻找 delta 的算法在实际实现中是错误的。如果您添加此内容，我将标记为正确答案。该死的，这些隐藏的知识花了我很多时间来弄清楚。
@Amumu 没错！我添加了关于矛盾部分的简要说明以供将来参考。