我有一个约 5000 个点的列表（指定为经度/纬度对），我想找到其中最接近用户指定的另一个点的 5 个点。
谁能提出一个有效的算法来解决这个问题？我正在用 Ruby 实现这个，所以如果有一个合适的库，那会很高兴，但我仍然对算法感兴趣！
更新：有几个人要求提供有关该问题的更具体细节。所以这里是：
【问题讨论】：
您可以通过使用quad-tree 或kd-tree 划分二维空间来加速搜索，然后在到达叶节点后逐一比较剩余距离，直到找到最接近的匹配。
另请参阅 this blog post，它指的是 this other blog post，它们都讨论了在 Ruby 中使用 kd-trees 进行最近邻搜索。
【讨论】：
您可以使用曼哈顿距离（按纬度缩放）获得一个非常快速上界估计距离，这应该足以拒绝 99.9% 的候选人（如果他们不接近）（编辑：从那以后你告诉我们他们很接近。在这种情况下，你的度量应该是距离平方，根据 Lars H 的评论）。 考虑这相当于拒绝球形矩形边界框之外的任何东西（作为圆形边界框的近似值）。 我不做 Ruby，所以这里是带有伪代码的算法：
让你的参考点P(pa,po)和其他点X(xa,xo)的纬度、经度。 预计算ka，纵向距离的纬度比例因子：ka (= cos(pa in°))。 （严格来说，ka = 常数是 P 附近的线性化近似值。）
那么距离估计为：D(X,P) = ka*|xa-pa| + |xo-po| = ka*da + do
在哪里 |z|表示绝对（z）。在最坏的情况下，这会高估真实距离 √2 倍（当 da==do 时），因此我们允许如下：
进行一次连续搜索并保持 Dmin，这是按比例计算的第五小曼哈顿距离估计值。 因此，您可以预先拒绝所有 D(X,P) > √2 * Dmin 的点（因为它们必须至少比 √((ka*da)² + do²）更远 - 那应消除 99.9% 的点）。 保留所有剩余候选点的列表，其中 D(X,P) 如果您找到新的第五小 D. 优先级队列，则更新 Dmin，否则为(coord,D) 是很好的数据结构。 请注意，我们从未计算欧几里得距离，我们只使用浮点乘法和加法。
（考虑这类似于四叉树，除了过滤掉除我们感兴趣的区域之外的所有内容，因此无需预先计算准确的距离或构建数据结构。）
如果您告诉我们预期的纬度、经度分布（度、分还是什么）会有所帮助？如果所有点都接近，则此估计器中的 √2 因子将过于保守，并将每个点都标记为候选；最好使用基于查找表的距离估计器。）
伪代码：
initialize Dmin with the fifth-smallest D from the first five points in list
for point X in list:
if D(X,P) <= √2 * Dmin:
insert the tuple (X,D) in the priority-queue of candidates
if (Dmin>D): Dmin = D
# after first pass, reject candidates with D > √2 * Dmin (use the final value of Dmin)
# ...
# then a second pass on candidates to find lowest 5 exact distances
【讨论】：
由于您的列表很短，我强烈推荐蛮力。只需将所有 5000 与用户指定的点进行比较。它将是 O(n)，您将获得报酬。
除此之外，四叉树或 Kd 树是空间细分的常用方法。但是在你的情况下，你最终会在树中进行线性数量的插入，然后是恒定数量的对数查找......有点浪费，当你最好只做线性数量的距离比较并完成。
现在，如果你想找到 N 个最近的点，你正在考虑对计算出的距离进行排序并取第一个 N，但这仍然是 O(n log n)ish。
编辑：值得注意的是，如果您要为多个查询重用点列表，那么构建空间树变得很有价值。
【讨论】：
对于 5000 个节点，我会计算每个节点的单个 x+y 距离，而不是纯暴力计算，而不是直线距离。
一旦您对该列表进行了排序，例如第 5 个节点的 x+y 为 38，您可以排除 x 或 y 距离大于 38 的任何节点。这样，您可以排除很多节点，而无需计算直线距离。然后蛮力计算剩余节点的直线距离。
【讨论】：
这些算法并不容易解释，因此我只会给你一些正确方向的提示。您应该寻找 Voronoi 图。使用 Voronoi 图，您可以轻松地在 O(n^2 log n) 时间内预先计算图形，并在 O(log n) 时间内搜索最近的点。
预计算是在晚上通过一项 cron 作业完成的，并且搜索是实时的。这符合您的规范。
现在您可以保存 5000 个点中每个点的 k 个最接近点对，然后从 Voronoi 图的最近点开始搜索剩余的 4 个点。
但请注意，这些算法并不容易实现。
一个很好的参考是：
【讨论】：
由于您有这么少的点，我建议您进行蛮力搜索，其效果是使用O(n^2) 操作、n = 5000 或大约 25/2 百万次迭代尝试所有点一个合适的算法，只存储相关的结果。这在 C 中将有不到 100 毫秒的执行时间，所以我们在 Ruby 中最多只需要一两秒。
当用户选择一个点时，您可以使用您存储的数据在恒定时间内给出结果。
编辑我重新阅读了您的问题，似乎用户提供了他自己的最后一点。在这种情况下，每次用户提供一个点时，在您的集合中进行 O(n) 线性搜索会更快。
【讨论】：
如果您需要多次重复此操作，使用不同的用户输入位置，但不想实现四叉树（或找不到库实现），那么您可以使用局部敏感哈希 (一种）相当直观的方法：
那么，当给定一个点 (X, Y)，
您所做的只是说附近的点必须具有相似的 x 和相似的 y 值...
【讨论】：