从 (n log^2 n) 到 (n log n) 时间的最近对算法答案

【问题标题】：Closest pair algorithm from (n log^2 n) to (n log n) time从 (n log^2 n) 到 (n log n) 时间的最近对算法
【发布时间】：2017-05-15 04:31:42
【问题描述】：

我正在尝试了解壁橱对算法如何从 n log^2 n 时间到 n log n 时间。我得到以下部分（来自http://www.cs.mcgill.ca/~cs251/ClosestPair/ClosestPairDQ.html）

用线 l 将集合分成大小相等的两个部分，并递归计算每个部分的最小距离。
令 d 为两个最小距离中的最小值。
消除距离 l 大于 d 的点
根据 y 坐标对剩余点进行排序
按 y 顺序扫描剩余点，并计算每个点与其五个邻居的距离。
如果这些距离中的任何一个小于 d，则更新 d。

步骤 4 是一种需要 O(n log n) 时间的排序，它支配所有其他步骤，这是需要减少到 O(n) 以使整个算法达到 O(n log n) 时间。这是我很难理解的部分。作者提出

第 1 步：将集合划分为...，并递归计算每个部分的距离，返回每个集合中的点以按 y 坐标排序的顺序。步骤 4：在 O(n) 时间内将两个排序列表合并为一个排序列表。

您仍然需要在递归步骤中按 y 坐标对点进行排序，这需要 O(n log n) 时间。我们怎样才能避免这种情况？合并是 O(n)，但我们仍然需要在某个地方进行排序。

【问题讨论】：

标签： algorithm sorting recursion closest-points

【解决方案1】：

O(n log n) 是一个问题的原因是我们一遍又一遍地这样做：如果我们将集合分成两个子集，并将这些中的每一个分成两个子集，然后涉及七种（整个集合中的一个，一半以上的两个，四分之一以上的四个）。

因此该提案通过重用先前排序的结果来解决此问题：因此我们对最小分区进行完全合并排序（每个分区为 O(1)，总计 O(n)），但是对于更大的分区，我们只需要进行一次 O(n) 合并传递来组合这些结果。因此，我们总共只支付 O(n log n) 次价格，这很好。

【讨论】：

谢谢 - 这个解释很有帮助，而且非常简洁明了。

【解决方案2】：

他们的建议是你有两个（已经排序的列表）A 和 B。可以使用 merge sort 将它们组合成一个排序列表（只是步骤 (4) 中的合并步骤）。

归并排序的结果是一个排序后的列表，其中包含A和B的所有成员。合并后，无需再次排序。

【讨论】：

我不太明白我们已经对列表 A 和 B 进行了排序。我们首先将点列表按它们的 x 坐标排序，然后将它们分成相等的两个部分，但是这些部分是按x 坐标。我们在第 4 步中需要的是按 y 坐标排序。我似乎错过了什么。

【解决方案3】：

我提供了一个可能更容易理解的替代解决方案。首先根据它们的 y 坐标对所有点进行排序。这是一次使用 O (n log n) 。有 n 个点，在排序后的数组中，每个点都有一个最多为 n 的索引。保存每个点的索引（为索引添加整数到点数据结构）。然后运行原始算法。这一次，在我们要对点进行排序的那一刻，不要用普通的比较排序对它们进行排序。但是根据它们的索引对它们进行排序。我们可以使用 O(n) 中的基数排序根据它们的索引对它们进行排序。所以整个过程是O(n log n)，因为我们只使用了一次比较排序，剩下的就是T(n)=2T(n/2)+O(n)。但常数不如问题中建议的修改。

问题中建议的修改过程类似于归并排序中的合并：当我们有两个排序列表时，我们不需要使用普通排序再次对它们进行排序，我们可以将它们合并到O（n）中.

【讨论】：

在原始问题中，我们有两个排序列表，但它们是根据 x 坐标排序的。我们如何在不先按 y 坐标对它们进行排序的情况下合并它们？还是说我们应该根据 y 坐标排序的点列表找出哪些是 d 相隔的？
@max_max_mir，我只解释了如何修改这部分以在 O(n) 中工作：“根据 y 坐标对剩余点进行排序”。其余的保持原样。正如我解释的那样，这提高了复杂性。