功能组合的分而治之

Question

我正在搜索算法以在 O(log n) 时间内找到 2 个线性函数 n 次（其中 n 可以大到 10^18）的组合。我刚刚得到一个pdf，其中包含使用分治算法的 2 个大度函数的多项式组合。

我想知道我的线性函数组合问题是否也可以使用 O(log n) 复杂度的分治算法来解决？

如果是，请解释算法。

谢谢，提前。

编辑 1： 函数 f(x) n 次的组成是 fofof...n 次。这里函数将被组合到自身 n 次。没有 2 个函数。

Answer 1

您可以将线性函数 f(x) = ax + b 的应用表示为 2×2 矩阵乘以向量 (x, 1)。

(f(x)) = ( a b ) (x)
( 1  )   ( 0 1 ) (1)

对 x 应用 f n 次就是将矩阵乘以 n 次到 (x, 1)，或者等效地，将矩阵的 n 次幂乘以 (x, 1)。

(f^n(x)) = ( a b )^n (x)
(  1   )   ( 0 1 )   (1)

您可以使用平方乘幂来计算矩阵幂。

无论您是在处理实数、整数还是以某个数 M 为模的整数，这都有效。