带早退语句的算法逐行分析

Question

我正在尝试一些算法课的作业，但我遇到了书中未描述的情况。我的任务是创建一个算法并对Sequential 或Linear Search 执行逐行分析，以在数组A[p...r] 中找到元素k。

我的算法非常简单：

1   for ct=1 to r
2       if A[ct] == k
3           return ct
4   return -1

直观地说，我已经知道该算法在最佳情况下会在 Θ(1) 中执行，而在最坏情况下会在 Θ(n) 中执行，但是我在执行逐行分析来证明这一点时遇到了一点麻烦。

这是我目前的分析结果（请注意常量旁边的#s 和 tj 下的 j 应该是下标）：

Line |  Algorithm     |  constants      |   time

1       for ct=1 to r           c1          tj+1    
2           if A[ct] = k        c2          tj
3              return ct        c3          1
4       return -1               c4          1

将常量按复杂度相加得到：

c1(tj+1) + c2tj +c3 + c4 = tj(c1+ c2) + (c1 + c3 + c4) = tj(c) + c = tj

这就是我的绊脚石......

在所有情况下，第 3 行和第 4 行只会执行一次，这就是为什么我将它们列为常数时间，但实际上在搜索期间只会执行其中的一个。我知道对于渐近符号而言，常量并不重要，但令人困扰的是我的 tj(c1+ c2) + (c1 + c3 + c4) 语句包含 c3 + c4，因为我知道它应该更像 c3 or c4。

问题

我能够适当地插入我的 T(n)，以便 T(1) = Θ(1) 和 T(n) = Θ(n)，但我觉得我还没有准确地证明这一点。

• 谁能权衡我的数学可能不正确的地方？
• 您应该如何评估算法中的提前返回语句？

Answer 1

我能够适当地插入我的 T(n)，以便 T(1) = Θ(1) 和 T(n) = Θ(n)，但我觉得我还没有准确地证明这一点。

任何人都可以权衡我的数学可能不正确的地方吗？

我来得太晚了，我很确定你已经知道了这一切，但这里是：

c1(tj+1) + c2tj +c3 + c4 = tj(c1+ c2) + (c1 + c3 + c4) = tj(c) + c = tj

我会改成

c1(tj+1) + c2tj +c3 + c4 = tj(c1+ c2) + (c1 + MAX(c3,c4)) = tj(c) + c = tj

正如您所指出的，只有 c3 或 c4 会运行，所以在最坏的情况下，我们会选择更复杂的那个（尽管在这种情况下两者都是不变的）。

How are you supposed to evaluate early return statements within an algorithm?

复杂性从最好的情况到最坏的情况（和平均情况），你正在评估最坏的情况。最好的情况是提前返回。假设条件使之成为可能。