面临减法时的算法复杂度

Question

为了获得算法的时间复杂度，我必须简化以下公式：(n^2-n)/3。是否有任何适用的规则可以让我将这个表达式进一步简化为更“常见”的 Θ(n^2) 或类似的东西（我假设这就是结果，可能是错误的）。

我根本不知道如何处理这里的减法。通常，如果两个值相加，您只考虑最高的那个来分析算法的复杂性。在这种情况下我该怎么办？

Answer 1

由于Θ 是一个紧界，因此没有更好的简化方法，如果某个函数f(n) 同时在Θ(h(n)) 和Θ(g(n)) 中，则意味着Θ(h(n)) = Θ(g(n)) ，因此对于您会发现的任何其他功能，在您的示例中超过 Θ(n^2) 的信息增益是没有的。

在处理n^k - n^m 的减法时，其中k>m，在分析大 Θ 符号时，您可以简单地“扔掉”n^m。

这是真的，因为：

n^k - n^m <= n^k  
-> and thus it is in O(n^k)

另一方面：
对于每个m,k，都有一些值N，这样对于所有n>N：0.5n^k >= n^m，因此：

n^k - n^m >= n^k - 0.5n^k = 0.5n^k    for n > N
-> it is also in Omega(n^k)

由于我们找到了上限和下限，我们可以得出结论n^k-n^m，当k>m 在Θ(n^k) 中。
（可以对不同 Θ 复杂度类中的一般 f(n),g(n) 进行类似的证明）。