MATLAB：为数字期权定价，蒙特卡洛与显式积分公式？

Question

我在使用 MATLAB 时遇到以下问题：

令 Z 服从对数正态分布，使得 ln Z 具有均值 m 和方差 w。设 eta 为负数，c 为正常数。

我正在尝试计算期望值（令 I(Z

E[Z^(eta+1) I(Z

其中 phi() 表示标准正态随机变量的概率分布函数。

我做的第一件事是模拟 10.000 次 Z 试验，将值 >c 的向量的条目设置为 0，提高到 (eta+1) 的幂，然后计算平均值。这应该给我预期值的 MC 估计。

ST = random('Lognormal', m,w_sq,10000,1);
hlp = zeros(10000,1);
hlp(ST<=2) = ST(ST<=2);
hlp(hlp>0) = hlp(hlp>0).^(eta1+1); % 0^(eta1+1) gives infinity
mean(hlp)

对于积分，我使用了以下代码

tmpp = integral(@(x) x.^(eta1) .* normpdf((log(x)-m)/sqrt(w_sq),0,c);
tmpp / sqrt(w_sq(1))

不幸的是，这些程序导致了完全不同的结果，尽管在数学上它们应该是相同的。

这整件事是更大代码的一部分，对我来说使用完整版本会更方便。本来想用 MC 模拟复查，结果发现肯定有问题……

有人可以帮忙吗？

Answer 1

对于第一段代码，

我猜你有意想不到的结果的原因是你在 在 hlp 上进行计算，你尽量避免 0 值，如 0^eta 会爆炸 - 这不是想要的结果，所以你只需放弃它。 但在最后一步，mean(hlp) 将获取数组hlp 中的所有值， 包括那些0。试试这个：

mean(hlp(hlp>0)).

10,000 点模拟时，我的结果大约是 2.x，2.3x ~ 1,000,000 点的 2.4 倍。

我错了。您的问题是您使用的积分太少。试试 10,000,000 点，你会满意的 :)

其次，我在理解您定义变量的方式时遇到了问题。 （我没有足够的声誉来添加评论，所以我把它放在这里。）w_sq 中的“sq”是指w 的平方根吗？因为根据random的文档，参数应该是“sigma”，也就是标准差。很自然地将 SD 定义为方差的平方根，我猜它是w。那么你在第一件作品中做得很好。

如果是这样，在你的第二段代码中，你为什么将sqrt() 放在w_sq 上？你的意思是取方差的第四根吗？从您对期望的定义来看，我认为这是不正确的。请看一下。

另一方面，w_sq 是单个数字还是数组？

• 如果是数字 -

tmpp / sqrt(w_sq(1)) 应该是tmpp / sqrt(w_sq)，尽管它们实际上并没有什么区别。

• 如果是数组 -

您可能希望将所有代码放入for 循环中。循环遍历w_sq，每次它选择数组中的一个元素（将变量命名为w_sq_elem），然后让其余代码像一个数字一样执行操作。

不管怎样，(log(x)-m)/sqrt(w_sq) 和 tmpp / sqrt(w_sq(1)) 在 w_sq 上提供不同的信息。第一个假设它是一个数字，所以除法可以简单地是/，而不是./。第二个表示它是一个数组，因此您正在选择它的第一个元素。但是数组在这里没有意义，因为据我了解，您不会将x 中的 10,000 个点除以 10,000 个不同的方差。

m = 3;
w_sq = 2;
eta1 = -2;
ST = random('Lognormal',m,w_sq,10000000,1);
hlp = zeros(10000000,1);
hlp(ST<=2) = ST(ST<=2);
hlp(hlp>0) = hlp(hlp>0).^(eta1+1); % 0^(eta1+1) gives infinity
mean(hlp)

tmpp = integral(@(x) x.^(eta1) .* normpdf((log(x)-m)/w_sq),0,2) ;
tmpp / w_sq

>> untitled

ans =

    0.2944


ans =

    0.2948

>>