使用蒙特卡洛模拟 + 布朗桥的期权定价

Question

我试图在 Matlab 中估算欧式看涨期权的价格。使用Black-Scholes 计算的确切值将是 6.89。我正在使用带有布朗桥的蒙特卡罗模拟来加快收敛速度​​。不幸的是，与我的代码近似的价格太高了（它总是在 120 左右），我看不出我的代码有问题。请在下面找到代码。如果有人可以帮助我解决我的问题，我将非常感激！

最佳雅尼斯

P.S.：输入参数“Pfade”是指模拟的布朗桥路径的数量。如果您需要更多信息，请告诉我，我是 MC-Simulation 和 Matlab 的新手！

function P=eurocallprice_QMC_BBD(S0,K,r,T,sigma,n,Pfade)
dt=T/n;
timestep=[0:dt:T]';
Wt=zeros(n+1,Pfade);
%Simulate the Brownian motion at T:
eY = randn(1,Pfade);
Wt(n+1,:)= sqrt(T).*eY;
%Simulate the Brownian motion W(t):
for j=2:n
  deltat1=(n+1-j)/(n+1-j+1);
  eYt = randn(1,Pfade);
  Wt(j,:)=deltat1*Wt(j-1,:)+(1-deltat1)*Wt(n+1,:)+sqrt(deltat1*dt)*eYt;
end
BB=Wt;
plot(BB)
SPaths = zeros(n+1, Pfade);
SPaths(1, :) = S0;
for i = 1:n+1
  SPaths(i + 1, :) = SPaths(i,:) .* (1 + r * dt + sigma * BB(i,:));
end
Payoff = zeros(Pfade,1);
Payoff = max(0, SPaths(n+1,:) - K);
P = exp(-r*T) * mean(Payoff);
end

Answer 1

确切的解决方案：

使用链接的维基百科页面上的公式：

% Dummy parameter
S0    = 100  % Stock  price 
K     = 100  % Strike price
sigma = 0.2  % Volatility
T     = 0.5  % Maturity
r     = 0.05 % risk free rate

% Application of the formula
N  = @(x) 0.5*(erf(x/sqrt(2))+1)                        %The normal cumulative distribution (with a mean = 0)
d1 = (1/(sigma*T^0.5))*(log(S0/K)+(r+(sigma^2/2))*T)   
d2 = d1-sigma*T^0.5
PV = K*exp(-r*T)
C  = N(d1)*S0 - N(d2)*PV                                %Call price
P  = PV*(1-N(d2))-S0*(1-N(d1))                          %Put  price

我们得到了

C = 6.89

您的布朗路径可以替换为正态累积分布（当布朗路径的数量趋于无限时，应该给出相同的结果）

顺便说一句，我现在有点害怕我们使用布朗路径来了解股票的运作方式。

蒙特卡罗模拟：

我不明白您尝试做什么，因为您的代码中几乎没有 cmets。但是如果只需要上面代码的模拟版本，你可以使用：

% Dummy parameter
S0    = 100  % Stock  price 
K     = 100  % Strike price
sigma = 0.2  % Volatility
T     = 0.5  % Maturity
r     = 0.05 % risk free rate
n     = 100000 % simulation length

rsim    = normrnd(0,1,1,n); %random normal number (mu = 1, sigma = 0).
var     = S0*exp(T*(r-0.5*sigma^2)+sigma*T^0.5*rsim)-K; % variation to price reference (as far as I understand the wikipedia article)
average = sum(max(var,0))/n; %average including the brownian bridge stuff where var<0 = 0
P       = exp(-r*T)*average %Put price
C       = %I let you find how to get the call price ;)