我需要根据不在其中心的点计算弧上的点

Question

我知道如何在给定半径和距离的情况下计算圆上点的 X/Y 位置。这不是我需要计算的。

我需要计算一个圆上的 X/Y 位置，但基于不是该圆心的点和角度。

已知值为：

• 圆心的 X/Y 坐标。
• 圆的半径。
• 第二个点的 X/Y 坐标，已知角度的中心点。
• 与第二点的角度。

我正在做的是计算曲线刻度上的线以用于仪表显示。线条需要与仪表的指针平行，但其轴心点可能与刻度圆弧的半径点不同。

它需要使用 Javascript 并用于在 HTML5 画布对象上绘图。

这里有一张图片可以帮助解释我在寻找什么：

_{（来源：sloansweb.com）}

参考图纸，CP1永远在CP2所在圆的内半径内。

编辑：我已更新绘图以简化它，仅显示围绕 CP2 的一个圆圈。请注意，相对于 CP2 的交叉点的角度是未知的。此外，相对于 CP1 到交叉点的距离是未知的。

提前致谢！！

Answer 1

也许通过这种方式是可能的：如果你有圆的半径和圆心，你可以为此写出你的方程（比如 Cr(x) ）。现在，如果你只有 CP2 和 A1_angle，你可以写出从 CP2 开始的直线方程，角度系数=A1_angle，这样你就可以在几何上截取“Crossing Point 1”和“Crossing Point 2”某处，使用直线方程或 Cr(x) 找出坐标。
更实用：
1)Cr(x) := (x-CP2.x)^2+(y-CP2.y)^2=radius1^2 其中 x,y, 变量和 CP2.x, CP2.y 是 CP2 的 x 坐标和 y 坐标。
2）然后你必须找出从CP1开始并以斜率=A1继续的线的功能是什么：y=tan(A1)*x+b，b = CP1.y-tan(A1)*CP1.x
3) 让这两个函数相互拦截，以求出它们共有多少个点（不超过 2 个！）：
{ Cr(x) AND y=tan(A1)*x+b } 。在这里你必须替换 y 变量（我认为这种方式比替换 x 变量更简单......你选择）并使方程等于 0。
((x-CP2.x)^2+(tan(A1)*x+b-CP2.y)^2 - radius1^2=0
如果你做了权利，你必须在末端有 2 个点（因为线与圆相交两次），没什么好说的，只是选择权利并做你需要的。
radius2 也是如此第二个圆，只需获取半径为 2 的圆的 Cr(x) 函数（线保持不变！）并找出坐标 :)
我知道这可能比绘制画布所需的更数学和复杂，但这是我最初想到的。
希望我很清楚:)

编辑：
在你的 javascript 代码中试试这个，希望它能正常工作：

function GetPoints(Center_x, Center_y, Radius, CP1_x, CP1_y, angle){
    var a=Center_x;
    var b=Center_y;
    var c=CP1_x;
    var d=CP1_y;
    var TAN=Math.tan((2*Math.PI*angle) / 360);

    var res_x= [];
    var res_y= [];

    if(angle!=90 && angle!=180 && angle!=270 && angle!=360){
    res_x[0]= ((2*TAN*TAN*c+2*b*TAN-2*d*TAN+2*a)  + 
            Math.sqrt( 
                -2*c*TAN*TAN-2*b*TAN+2*d*TAN-2*a - (4*TAN*TAN + 4)*(c*c*TAN*TAN-2*c*d*TAN+2*c*b*TAN-2*d*b+d*d+b*b-Radius*Radius+a*a)
                )
            ) / (2*TAN*TAN+2);

    res_x[1]= ((2*TAN*TAN*c+2*b*TAN-2*d*TAN+2*a)  - 
            Math.sqrt( 
                -2*c*TAN*TAN-2*b*TAN+2*d*TAN-2*a - 4*(TAN*TAN + 1)*(c*c*TAN*TAN-2*c*d*TAN+2*c*b*TAN-2*d*b+d*d+b*b-Radius*Radius+a*a)
                )
            ) / (2*TAN*TAN+2);

    res_y[0]= TAN*res_x[0]+d-TAN*c;
    res_y[1]= TAN*res_x[1]+d-TAN*c;

}
else{
    res_y[0]= b +  
    Math.sqrt(
        -c*c+2*c*a-a*a+Radius*Radius
        );

    res_y[1]= b - 
    Math.sqrt(
        -c*c+2*c*a-a*a+Radius*Radius
        );
    }
    res_x[0]=res_x[1]=c;


    console.log("x0= "+res_x[0]+ "\nx1= "+res_x[1]+"\n");
    console.log("y0= "+res_y[0]+ "\ny1= "+res_y[1]+"\n");


}

那些 console.logs 在调试时应该很有用，所以我留下了它们。
角度以度为单位，我已经实现了到 grads 的隐式切换，并以默认方式计算（关于 grads）。我不知道你的A1 角度有多少变化，所以我更喜欢这种方式，但我认为进行这种改变并不是很复杂。在 res_x[] 中存储了交叉点的 x 值，在 res_y[] 中存储了 y 值。我看到最终它可以做出一些由我认为的数学引起的近似值。还有一件事，你看到的函数没有处理异常。

2 编辑：
我想出了第二个解决方案。要了解所有三角形，我们至少需要 3 个数据。我们已经有了三角形 ABC 的 3 个数据！

我们知道 A 和 B 在哪里，所以他们的距离，我们知道 alpha 角，所以 B 的所有角度 (90° + alpha)，我们知道 AC。当然，我们知道 2 个边和一个角度……也许我们不需要其他任何东西。
从理论上，我们知道在任意三角形中，对角的一侧超过对角的正弦对每一边和每个角都是常数。在这种情况下，我们知道 AC（它是半径）和 B_angle（它是 90 度加上你的值 alpha），所以 AC/sin(alpha+pi/2) 等于 AB/sin(C_angle) 再次等于 BC/sin(A_angle)。 做一些方程式：

AC/sin(alpha+90°)=AB/sin(C_angle)

所以

sin(C_angle)=AB*sin(alpha+90°)/AC

和

C_angle= arcsin ( AB*sin(alpha+90°)/AC )

现在，如果我们知道 C_angle 和 alpha，我们可以计算 A_angle，因为三角形中所有 3 个角的总和为 180°。所以 A_angle=180°-alpha-C_angle。 现在我们知道了所有的角度和两条边。对于最后一个，我们可以应用与上面相同的公式：

BC/sin(A_angle)=AC/sin(alpha+90°)=AB/sin(C_angle)

选择您喜欢的并检索 BC。 现在我们有：

AC=radius;
AB= known with coordinates;
BC= retrieved from previous relations
B_angle= alpha + 90°
A_angle and C_angle= retrieved from previous relations as for BC.

我们现在什么都知道了，尤其是 BC。 为了通过知道 C 点到 B 的距离来检索 C 点的坐标，我们可以做一个技巧：
制作从 B 开始并以 tan(alpha) 为斜率的 line(x) 方程，知道 B 到 C 的距离，我们可以通过以下方式检索 C 的 X/Y 坐标：
C.x= BC*cos(alpha)
C.y= line(x+BC*cos(alpha)) 你去吧。
我发现这个过程比我建议的另一个过程简单得多，也许用 JS 编码会容易得多。 这一直有效，直到 B 点位于 A 的同一轴上。如果 B 点应该移动，B_angle 可能会发生很大变化，而不是添加 90°，您应该添加 A 和 B 之间的角度。