计算递归函数的值

Question

怎么办？在编写 4a() & 2a() 时应该是 4*a() 还是 4 * () 而不调用 a 函数？

4a(2 - 1) - 2a(2 - 2) = 4a( 1 ) – 2a( 0 ) = 4 
4a(3 - 1) - 2a(3 - 2) = 4a( 2 ) – 2a( 1 ) = 6
4a(4 - 1) - 2a(4 - 2) = 4a( 3 ) – 2a( 2 ) = 8

我这样做对吗？

php代码：

function a( $x ){
    print "a($x) = ";
    if( $x == 0 )   return 1;
    if( $x == 1 )   return 2;
//if( $x > 1 )  return 4*a( $x - 1)- 2*a( $x - 2); //this line A
//if( $x > 1 )  return 4*( $x - 1)- 2*( $x - 2);  //or this line B
}

for( $i=0; $i<10; $i++) print a($i) . "</br>";

对我来说，使用 B 更有意义，因为它对于一个简单地将输入内容加倍的函数变得有用。

Answer 1

问题陈述描述了一个递归函数，根据定义，它是一个调用自身的函数。当使用0（即a(0) 所以k = 0）调用时，结果是1。当使用1（即a(1) 所以k = 1）调用时，结果是2。对于大于或等于2 的k 值，您执行4 * a(k-1) - 2 * a(k-2)。这是函数调用自身的递归步骤。在这种情况下，它会调用自己两次，然后组合答案。

这里是 Ruby。你的答案不正确。

#!/usr/bin/env ruby

def a(k)
  return 2 if k == 1
  return 1 if k == 0
  return 4*a(k-1) - 2*a(k-2)
end

puts "a(2) = #{a(2)}"  // prints "a(2) = 6"
puts "a(3) = #{a(3)}"  // prints "a(3) = 20"
puts "a(4) = #{a(4)}"  // prints "a(4) = 68"

a(0) == 1 和 a(1) == 2 是允许递归结束的基本情况。所有其他值都是从具有较小输入的值递归计算的。最终一切都以a(0) 或a(1) 结束，然后您只需分别替换为1 或2。

这是计算机如何解决a(4)：

a(4) = 4*a(4-1) - 2*a(4-2)
     = 4*a(3) - 2*a(2)
     = 4*(4*a(2) - 2*a(1)) - 2*a(2)

...自从a(2) = (4*a(1) - 2*a(0))

     = 4*(4*(4*a(1) - 2*a(0)) - 2*a(1)) - 2*(4*a(1) - 2*a(0))
     = 4*(4*(4* 2   - 2* 1)   - 2* 2  ) - 2*(4* 2   - 2* 1  )
     = 4*(4*( 8     -  2  )   -   4   ) - 2*(  8    -  2    )
     = 4*(4*      6           -   4   ) - 2*      6
     = 4*(   24               -   4   ) -    12
     = 4*           20                  -    12
     =       80                         -    12
     =                     68

计算机就是这样做的。对于人类来说，计算k 的递增值更容易，因为当我们得到一个我们已经计算过的值时，我们可以直接替换这个值：

a(0) = 1     // k = 0, so answer is 1
a(1) = 2     // k = 1, so answer is 2
a(2) = 4*a(1) - 2*a(0) = 4*2  - 2*1 = 8  - 2  = 6
a(3) = 4*a(2) - 2*a(1) = 4*6  - 2*2 = 24 - 4  = 20
a(4) = 4*a(3) - 2*a(2) = 4*20 - 2*6 = 80 - 12 = 68