原始递归函数答案

【问题标题】：Primitive Recursive function原始递归函数
【发布时间】：2016-02-12 07:08:40
【问题描述】：

在A tutorial on universality and expressiveness of fold 第 4.1 章中，声明了这种递归模式

h y [] = f y
h y (x:xs) = g y x xs (h y xs)

是原始递归，但我不明白为什么模式

h [] = v
h (x:xs) = g x (h xs)

不是根据definition of primitive recursive的原始递归。
如果我们让y = xs 和y' = x:xs，h y' 的值仍然基于h (x:xs) = g x (h xs) 中的h y。

【问题讨论】：

第 4.1 章在哪里说您的第二个示例不是原始递归的？它从您的第二个示例开始，然后只是对其进行概括（通过添加额外的y 参数）以获得您的第一个版本。但我没有看到只有你的第一个使用原始递归的说法。
@Cactus 这种对列表的递归模式称为原始递归（Kleene，1952）。我想我误解了它的意思。谢谢！
是的，但这不意味着仅您的第一个示例称为原始递归，与您的第二个示例（此外，引用您的示例会令人困惑，因为与教程相比，您颠倒了它们的顺序......）
@Cactus 教程说“我们将把这种递归模式推广到原始递归”。这种暗示原始模式不是原始递归。
另一个问题是为什么这是一个泛化形式？

标签： haskell recursion functional-programming fold

【解决方案1】：

原始递归方案是参数化在f,g的选择上

h y [] = f y
h y (x:xs) = g y x xs (h y xs)

即我们可以随意选择f,g，而h会通过原语递归来定义。

具体来说，我们可以选择

f = \y -> v
g = \y x xs -> g' x z

g' 是我们选择的任何其他函数。然后我们得到

h y [] = v
h y (x:xs) = g' x (h y xs)

现在，如果我们让

h' xs = h () xs

我们将y 参数固定为一个无关紧要的值，以便恢复问题中的函数。学究式地，h' 不是直接作为一般形式的实例获得的，因此h' 在技术上不是通过上面看到的原始递归方案定义的（即，它不是一个实例）。有时，我们发现有许多变量 y1 .. yn 而不是 y，在这种情况下，我们可以根据需要选择 n=0 并删除 y。

【讨论】：

好吧，您比较一般方案和期望的目标，并尝试实例化参数以使它们匹配。可能需要进行一些试验和错误。
根据primitive recursive definition，我认为一般的方案应该是h y (x:xs) = g y xs (h y xs)，但是为什么在A tutorial on the universality and expressiveness of fold中定义为h y (x:xs) = g y x xs (h y xs)？
@Sid 原始递归的第一个定义仅将自然数视为参数。在处理列表时，它必须被扩展。如果我们按照您的建议扩展它，那么h y (x:xs) 不能依赖于x，这是非常严格的：我们无法访问任何列表元素！