如何使用 Newton-Raphson 方法在 Python 中计算多变量方程组？

Question

我在编程方面需要你的帮助。这是我的方程组：

f_1(x1, x2) = 89.3885624 + 169.6377442*x1 + 169.439564*x2 
+ 65.07923*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2) 
+ 162.698313*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
+ 174.39264*x1*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/(2*a2) +0.55071844)/3*x2) 
+ 174.39264*x2*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
+ 72.077218*x1*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
+ 189.511738*x2*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2)

和

f_2(x1,x2) = 78.183644 + 26.71298*x1 + 66.782413*x2 
- 169.637744*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2) 
- 169.439564*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
- 174.39264*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2)^2 
- 261.5889567*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2)
*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
- 174.39264*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2)^2 
- 54.306279*x1*((-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2))/2*a2) 
+ 54.306279*x2*((3*x1*(-a1-sqrt(a1^2 - 4*a0*a2)/(2*a2) +0.55071844)/3*x2)

a0、a1 和 a2 是带有变量 x1 和 x2 的方程。

这两个等式需要等于 0 或非常接近0。我想使用 Newton-Raphson 方法，但我不知道如何。在互联网上我找到了很多例子，但他们使用更简单的方程组，就像我的一样。

对不起，我的英语不好，感谢您的帮助！

Answer 1

您可以使用scipy 或mpmath，查看此答案Find roots of a system of equations to an arbitrary decimal precision

如果您想自己解决，请查看此链接：http://fourier.eng.hmc.edu/e176/lectures/NM/node21.html

您需要计算函数的偏导数才能计算雅可比矩阵，然后需要对其求逆。您的函数非常粗糙，因此您可以考虑使用 wolframscript，它是 Mathematica 的命令行版本。这将使计算导数变得容易得多。

例如使用 wolframscript（稍作改动，如 sqrt() -> Sqrt[] 并在行尾加上 + 来执行多行函数），您可以轻松获得所需的偏导数。

In[8]:= f1[x1_, x2_] := 89.3885624 + 169.6377442*x1 + 169.439564*x2 +
65.07923*((3*x1*(-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/(2*a2) +0.55071844)/3*x2) +
162.698313*((-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/2*a2) +
174.39264*x1*((3*x1*(-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/(2*a2) +0.55071844)/3*x2) +
174.39264*x2*((-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/2*a2) +
72.077218*x1*((-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/2*a2) +
189.511738*x2*((3*x1*(-a1-Sqrt[a1^2 - 4*a0*a2])/(2*a2) +0.55071844)/3*x2)

In[9]:= D[f1[x1, x2], x1]                                                                          
                                           2
Out[9]= 169.638 + 36.0386 a2 (-a1 - Sqrt[a1  - 4 a0 a2]) +

                           2                                        2
     32.5396 (-a1 - Sqrt[a1  - 4 a0 a2]) x2   87.1963 (-a1 - Sqrt[a1  - 4 a0 a2]) x1 x2
>    -------------------------------------- + ----------------------------------------- +
                       a2                                        a2

                                         2
                         3 (-a1 - Sqrt[a1  - 4 a0 a2]) x1
>    58.1309 (0.550718 + --------------------------------) x2 +
                                       2 a2

                           2               2
     94.7559 (-a1 - Sqrt[a1  - 4 a0 a2]) x2
>    ---------------------------------------
                       a2