在 Newton-Raphson 方法中计算迭代次数答案

【问题标题】：Counting iterations in Newton-Raphson's method在 Newton-Raphson 方法中计算迭代次数
【发布时间】：2017-02-27 00:20:03
【问题描述】：

我正在编写一个简单的程序，该程序使用 Newton-Raphson 方法计算任何给定函数的根。在这个程序中，我必须打印找到的根和进行的迭代次数。程序本身很好，我可以找到任何给定函数的根，但我无法正确计算迭代次数。它总是超过最大值 5。迭代次数或比它少 1。这是 C++ 中的代码：

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>

using namespace std;

double f(float x)
{
  double function1;
  function1 = exp(x)- 4*pow(x,2); // given function
  return function1;
}

double derivative(float x)
{
  double derivative1;
  derivative1 = exp(x) - 8*x; // derivative of given function
  return derivative1;
}


void newtonMethod(double x0, double error, int N)
{
  double xNext, xPrevious, root;
  int k;

  xPrevious = x0;

  for(int i = 0; i < N || f(xNext) > error; i++)
  {
    xNext = xPrevious - (f(xPrevious)/derivative(xPrevious)); // calculates the next value of x
    xPrevious = xNext;
    root = xNext;
    k = i;
}
cout << endl;
cout << "Iterations made: " << k << endl;
cout << endl;
cout << endl;
cout << endl;
cout << "Root is:  " << root << endl;


}

int main()
{
  double x0, error;
  int N; // max. number of iterations you can do
  cout << "Enter x0: ";
  cin >> x0;
  cout << "Enter the error: ";
  cin >> error;
  cout << "Enter the max. number of iterations: ";
  cin >> N;
  newtonMethod(x0, error, N);
 }

而且我很确定错误出在这段代码中：

;i < N || f(xNext) > error;

如果我运行这个程序并设置 N = 100，它会显示正确的根，但它会打印“Iterations made = 99”，但这是错误的。我该怎么做才能打印出正确的迭代次数？例如，对于上面程序中的函数 (e^x - 4x²)，如果我输入 x0 = 0.5 且错误 = 0.0001，它应该在第四次迭代中停止。如何解决？

【问题讨论】：

计算机以二进制而非十进制工作。 0.0001 不能用二进制精确表示，因此您可能/不会得到确切的答案。 -- 对于上面程序中的函数 (e^x - 4x²)，如果我输入 x0 = 0.5 并且错误 = 0.0001，它应该在第四次迭代中停止。 -- 在你的数学书中，是的，在二进制计算机上，也许，也许不是。
这不是问题，但是像double f(float x) { double function1; function1 = exp(x)- 4*pow(x,2); return function1; } 这样的代码太冗长了。 double f(floats x) { return exp(x) - 4 * pow(x, 2); } 做同样的事情并且更容易阅读。
你说得对，代码部分太冗长了，但这不是重点。我用二分法编写了另一个程序，一切都运行得很好。输入数字“0.0001”不会导致意外错误。我只是不明白是什么导致了牛顿方法中的这个错误。
@Diego 所有这一切都归结为一个简单的事实，即浮点数并不精确。我不知道说起来有多简单。无论您是尝试实现 Newton-Raphson，还是简单地将几个数字相加，都会导致舍入错误。

标签： c++ count newtons-method

【解决方案1】：

回答您的问题，这就是为什么以下代码不起作用：

;i < N || f(xNext) > error;

这仅仅是因为，在 for 循环条件中，评估的是继续条件，而不是停止条件。在上面的代码中，您告诉编译器的是：继续只要i < N 为真或f(xNext) > error 为真，循环。因此，当您输入x0 = 0.5、error = 0.0001 和N = 100 时，循环所做的是它不会停止，直到两个条件都为假，即当 i 达到 N 和 f 中的容差时(x) 小于 error。

现在，解决方案是将|| 运算符换成&& 运算符。像这样：

i < N && f(xNext) > error;

但是，您的xNext 未初始化。因为您的 xNext 和 xPrevious 在每个循环结束时是相等的，所以我会简单地使用 xPrevious 代替。此外，正如@Rathat 所写，评估您在 f(x) 中的容差应该采用其绝对值，因此：

i < N && abs(f(xPrevious)) > error;

最后，您应该将迭代次数输出为k + 1，因为您从i = 0开始。

这应该可以解决您的问题。

【讨论】：

很好的答案！

【解决方案2】：

感谢所有答案。除了@yuxiangDev 解释得很好的for 条件背后的逻辑之外，我还发现了问题所在。尽管@RatHat 代码完全正确，但错误出现在我正在使用的math.h 库中。我试过<cmath>，效果很好！哈哈。

【讨论】：